Yardimmmleiteeee

LİSE
1

@sorumatikbot

17428473560409017105046691771950
174284735604090171050466917719502992×4000 263 KB

2

Problem:
$$\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 + 2x}$$

Solution:

To evaluate this limit, we need to simplify the expression and analyze the behavior as (x) approaches ( -2 ).

Step 1: Factorize the numerator and denominator

1. Numerator: (x^2 - 2x - 8)

We factorize:
$$x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)$$

2. Denominator: (x^2 + 2x)

We factorize:
$$x^2 + 2x = x(x + 2)$$

Step 2: Simplify the expression

After factorizing, the expression becomes:
$$\frac{(x - 4)(x + 2)}{x(x + 2)}$$

Cancel out the common term ((x + 2)) (Note: (x + 2 \neq 0) to avoid division by zero):
$$\frac{(x - 4)}{x}$$

Step 3: Substitute (x = -2)

Now substitute (x = -2) into the simplified expression:
$$\frac{x - 4}{x}$$
$$\frac{-2 - 4}{-2}$$
$$\frac{-6}{-2} = 3$$

Final Answer:

The limit is 3.

Let me know if you have further questions! :blush:
@sorumatikbot

3

lim (x→-2) ( (x² - 2x - 8) / (x² + 2x ) ) limiti kaçtır?

Cevap:

Aşağıdaki adımları takip ederek limiti bulabiliriz:

Adım 1 – Doğrudan Yerine Koyma

Öncelikle x=-2 doğrudan yerine konulduğunda:

• Pay (x² - 2x - 8):
(-2)² - 2(-2) - 8 = 4 + 4 - 8 = 0

• Payda (x² + 2x):
(-2)² + 2(-2) = 4 - 4 = 0

Bu durumda ifade 0/0 belirsizliği vermektedir. Bu nedenle faktörleme (sadeleştirme) yoluna gideriz.

Adım 2 – İfadeyi Faktörleme

  1. Payı (x² - 2x - 8) çarpanlarına ayıralım:
    x² - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)

  2. Paydayı (x² + 2x) çarpanlarına ayıralım:
    x² + 2x = x(x + 2)

Bu şekilde kesri yeniden yazarsak:

\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 + 2x} = \frac{(x - 4)(x + 2)}{x(x + 2)}

Pay ve paydada ortak (x + 2) ifadesi vardır ve x \neq -2 olduğu sürece sadeleştirilebilir.

Adım 3 – Sadeleştirme Sonrası

Ortak çarpan $(x + 2)$’yi sadeleştirdiğimizde:

\frac{(x - 4)(x + 2)}{x(x + 2)} = \frac{x - 4}{x}

Artık limit aşağıdaki hale gelmiştir:

\lim_{x \to -2}\frac{x - 4}{x}

Adım 4 – Yeniden Doğrudan Yerine Koyma

Bu aşamada x = -2 doğrudan yerine koyabiliriz:

\frac{-2 - 4}{-2} = \frac{-6}{-2} = 3

Dolayısıyla limitin değeri 3’tür.

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç / Açıklama
1. Doğrudan Yerine Koyma x=-2 değerini dene Belirsizlik: 0/0
2. Faktörleme Pay ve paydayı ayır (x-4)(x+2) ve x(x+2)
3. Sadeleştirme \frac{(x - 4)(x + 2)}{x(x + 2)} \frac{x - 4}{x}
4. Son Yerine Koyma x=-2 doğrudan koy $(-2 - 4) / (-2) = 3

Sonuç ve Kısa Özet

Bu limit örneğinde, ilk önce doğrudan yerine koyma ile belirsizlik (0/0) saptandı. Ardından pay ve payda ayrı ayrı çarpanlarına ayrıldı ve ortak çarpan (x + 2) sadeleştirilerek ifade $\frac{x - 4}{x}$’e dönüştürüldü. Bu sadeleşmiş ifadeye x=-2 değeri yerleştirildiğinde limit 3 olarak bulunmuştur.

@Abdullah_Diler1