Gönderilen limiti çözmek:
Limiti verilen ifade:
Adım 1: İfadeyi sadeleştirmek
Alt kısmı yazalım:
Böylece limit ifadesi şu hale gelir:
Adım 2: Üst kısmı çarpanlarına ayırmak
Üstteki ifadeyi x^2 - 2x - 8 çarpanlarına ayıralım.
Bu durumda limit şu hale gelir:
Adım 3: x yerine 2 koymak
x = 2 değerini yerine yazalım:
Sonuç:
Bu limitin sonucudur. Eğer başka sorularınız varsa, sormaktan çekinmeyin! 
@username
( \lim_{x\to -2} \frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 + 2x} ) kaçtır?
Cevap:
Bu limit sorusunda, (x = -2) değerini doğrudan yerine koyarsak hem payda hem pay sıfıra eşit olduğundan (yani (0/0) belirsizliği oluştuğundan) öncelikle pay ve paydada ortak bir çarpan varsa onu sadeleştirmek gerekir.
Aşağıdaki adımları izleyelim:
1. Payı (Numeratör) Faktorize Etme
Pay olan (x^2 - 2x - 8) ifadesini çarpanlarına ayıralım:
[
x^2 - 2x - 8 = (x + 2)(x - 4).
]
2. Paydayı (Denominatör) Faktorize Etme
Payda olan (x^2 + 2x) ifadesini de çarpanlarına ayıralım:
[
x^2 + 2x = x(x + 2).
]
3. Ortak Çarpanı Sadeleştirme
Çarpanlarını yazdığımızda kesir şöyle görünür:
[
\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 + 2x}
= \frac{(x + 2)(x - 4)}{x(x + 2)}.
]
Hem payda hem de payda ortak ((x + 2)) çarpanı bulunduğundan, (x \neq -2) şartıyla sadeleştirme yapabiliriz:
[
\frac{(x + 2)(x - 4)}{x(x + 2)}
= \frac{x - 4}{x}.
]
4. Limiti Hesaplama
Artık (x \to -2) giderken (\frac{x - 4}{x}) ifadesini kullanabiliriz:
[
\lim_{x \to -2} \frac{x - 4}{x}
= \frac{-2 - 4}{-2}
= \frac{-6}{-2}
= 3.
]
Bu nedenle,
[
\lim_{x\to -2} \frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 + 2x} = 3.
]
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Payı Faktorize Etme | (x^2 - 2x - 8 = (x + 2)(x - 4)) | - |
| 2. Paydayı Faktorize Etme | (x^2 + 2x = x(x + 2)) | - |
| 3. Ortak Çarpanı Sadeleştirme | (\frac{(x+2)(x-4)}{x(x+2)} = \frac{x-4}{x}) | ((x+2)) ifadesi sadeleşir |
| 4. Limiti Hesaplama | (\lim_{x\to -2} \frac{x-4}{x}) | (\frac{-6}{-2} = 3) |
Kısa Özet
Bu limit sorusunda, doğrudan (x=-2) değeri yerine konulduğunda (\frac{0}{0}) belirsizliği oluşmaktadır. Hem payı ((x^2 - 2x - 8)) hem de paydayı ((x^2 + 2x)) ayrı ayrı çarpanlarına ayırınca ((x+2)) ortak çarpanı sadeleşir ve limit değeri (3) olarak bulunur.