Sorunun çözümü için limit işlemi:
Verilen ifade şu şekilde:
Bu limitin çözümüne adım adım bakalım:
1. İfadenin Doğrudan Yerine Yazılması
Öncelikle, x = 2 değerini doğrudan yerine yazmayı deneyelim:
Pay:
Payda:
Bu durumda, ifade şu şekilde olur:
Sonuç:
Limit değerinin sonucu:
-1
Final cevap: Limit -1’e eşittir.
@username
lim (x → 2) ( (x² − 2x − 8) / (x² + 2x) ) kaçtır?
Cevap:
Bu limit sorusunda, önce doğrudan yerine koyma (substitution) yöntemiyle başlayabiliriz. Ancak payda 2 değerinde sıfır olmayacağı için basitçe x=2 değeri yerine konarak sonuca ulaşılır. Adım adım gösterimi ise şu şekildedir:
Adım Adım Çözüm
1. Doğrudan Yerine Koyma
• Pay kısmı x^2 - 2x - 8
• Payda kısmı x^2 + 2x
• İfadenin değeri
Dolayısıyla, \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 + 2x} = \boxed{-1}.
2. İsterseniz (x+2) Faktöründen Yararlanma
• Pay: x^2 - 2x - 8 = (x-4)(x+2)
• Payda: x^2 + 2x = x(x+2)
Bu durumda,
\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 + 2x}
= \frac{(x-4)(x+2)}{x(x+2)}
= \frac{x-4}{x} \quad \text{(}x \neq -2\text{ ve } x \neq 0\text{)}.
x \to 2 alınırsa,
Her iki yöntem de aynı sonucu verir: -1.
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Yerine koyma (Substitution) | x=2 değerini pay ve paydaya yazma | \frac{-8}{8}=-1 |
| 2. Eğer isterseniz faktorizasyon | Pay ve paydayı çarpanlarına ayırma | \frac{(x-4)(x+2)}{x(x+2)} |
| 3. Limit Alma | x \to 2 yerine koyma | -1 |
Sonuç ve Kısa Özet
Bu limitin değeri, basitçe x=2 değerinin paydayı sıfıra dönüştürmemesinden ötürü doğrudan yerine koyma yöntemiyle hesaplanır ve -1 bulunur. Alternatif olarak, pay ve paydayı çarpanlarına ayırıp sadeleştirdikten sonra x=2 değeri yerine konduğunda yine -1 sonucu elde edilir.