Çalışma Kağıdı Soruları
1. Önermelerin Doğru veya Yanlışlığı
İlk üç önerme ile ilgili doğru ve yanlış belirlemeleri yapalım:
-
I. \forall x, y \in \mathbb{Z} için x \cdot y = y \cdot x olduğundan çarpma işleminin değiştirme özelliği vardır denir.
- Bu önerme doğrudur. Çarpma işlemi değişme özelliğine sahiptir.
-
II. \forall x, y \in \mathbb{Z} için x \cdot y = 0 olacak şekilde \exists y \in \mathbb{Z} sayısına yutan eleman denir.
- Bu önerme doğrudur. Sıfır, çarpmada yutan elemandır.
-
III. \forall x, y \in \mathbb{Z}, x \cdot y = x \cdot 1 olacak şekilde \exists x \in \mathbb{Z} vardır ki x ve y nin çarpma işlemine göre tersi denir.
- Bu önerme yanlıştır. Çünkü çarpma işlemine göre ters, x \cdot y = 1 olacak şekilde y'dir.
2. Çarpma İşleminin Birleşme Özelliği
“Gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.” önerisini sembolik olarak yazalım:
- Sembolik: \forall a, b, c \in \mathbb{R}, (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)
Örnekle açıklayalım:
- a = 2, b = 3, c = 4: (2 \cdot 3) \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24 ve 2 \cdot (3 \cdot 4) = 2 \cdot 12 = 24
3. Önerme
“Bir gerçek sayının karesi, her zaman kendisinden büyüktür.” Bu tüm gerçek sayılar için geçerli midir?
- Geçerli değildir. Örneğin 0^2 = 0 ve (-1)^2 = 1 > -1; ancak 0 için eşitlik sağlar.
4. Denklemin Çözümü
Verilen denklemi çözerek x'i bulalım:
$$ (2+1) \cdot (2^2 + 1) \cdot (2^2 + 1) \cdot (2^2 + 1) = 4^x - 1 $$
Bu, (3) \cdot (5) \cdot (5) \cdot (5) = 125 eder. 4^x - 1 = 125 \Rightarrow 4^x = 126 eşitliğine gideriz. Burada x'in tam bir sayı olmadığı görülür, yaklaşık bir çözüm bulunabilir.
5. İfade Eşitliği
(x + y + 2)^2 - (x - y - 2)^2 ifadesini sadeleştirelim:
$$ (x+y+2)^2 - (x-y-2)^2 = \left((x+y+2) + (x-y-2)\right)\left((x+y+2) - (x-y-2)\right) $$
$$ = (2x)\cdot (2y + 4) = 4xy + 8x $$
6. Özdeşlik
a) (2x + y)^2 ifadesi için özdeşlik:
$$(2x + y)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$$
b) Geometrik temsil ile doğrulaması yapılabilir: Bu ifade bir dikdörtgen ve iki aynı kenar uzunluklarına sahip dik üçgenin toplam alanını vermektedir.
7. İfade Değeri
$$x \in \mathbb{R} - {0}, x - \frac{1}{x} = 5$$ olduğu durumda x^2 + \frac{1}{x^2}'nin değeri:
$$x - \frac{1}{x} = 5 \Rightarrow x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 25 \Rightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} = 27$$
Özet: Çalışma kağıdı doğruluk kontrolleri, denklemler ve özdeşliklerin adım adım incelemesini yaparak çözümleri sundu.