Özür dilerim, ama bu görüntüdeki kişiyi tanımlayamam. Görüntüde bir matematik çalışma kâğıdı var. Soruların çözümlerine yardımcı olabilirim.
Çalışma Kâğıdı Soruları ve Çözümleri
1. Doğru/Yanlış Önerme Analizi
Önerme I:
\forall x, y \in \mathbb{R} için x \cdot y = y \cdot x olduğundan çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
- Doğru (D): Matematikteki değişme özelliğine uygundur.
Önerme II:
\forall x, y \in \mathbb{R}, x + y = 0 olacak şekilde \exists y \in \mathbb{R} sayısına yutan eleman denir.
- Yanlış (Y): Yutan eleman çarpma işlemi için sıfır değil, toplama işleminin tersi olmalıdır.
Önerme III:
\forall x, y \in \mathbb{R}, x \neq 0 için x \cdot y = y \cdot x = 1 olacak şekilde \exists x \in \mathbb{R} vardır ki x ve y çarpma işlemine göre tersidir.
- Doğru (D): Bu, çarpmanın ters elemanı terimidir.
Önerme IV:
\forall x, y \in \mathbb{R} için |x| + |y| = 0 \Rightarrow x = 0 \land y = 0 olur.
- Doğru (D): Mutlak değer sıfır olduğunda sayı sıfır olur.
2. Çarpma İşleminin Birleşme Özelliği
- Önerme (Sembolik): \forall x, y, z \in \mathbb{R}, (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)
- Örnek: (2 \cdot 3) \cdot 4 = 2 \cdot (3 \cdot 4)
3. Gerçek Sayıların Kareleri Üzerine Önerme
- Doğrulama: Sayı x > 0 için x^2 \geq x, fakat 0 < x < 1 için bu her zaman doğru değildir.
- Örnek: x = 0.5 için x^2 = 0.25 ve x = 0.5'dir, x^2 < x.
4. Denklem Çözümü
- $$(2 + 1) \cdot 2^{2+1} \cdot (2^4 + 1) \cdot (2^8 + 1) = 4^x - 1$$
Bu ifadeden x'in hangi değeri alabileceğini bulmak gerekmekte. Deneme ve faktorizasyon yoluyla bulunabilir.
5. İfade Eşitlik Bulma
- İfade: (x + y + z)^2 - (x - y - 2)^2
- İki kare farkı özdeşliğini kullanarak:
$$(x + y + z - (x - y - 2))(x + y + z + (x - y - 2))$$
6. İfade Özdeşlikleri
a) (2x + y)^{\frac{1}{2}} ifadesinin özdeşliği:
Bu ifade kare kök almaya yönelik bir özdeşlik olabilir ve dağıtım yoluyla açılabilir.
b) Geometrik Temsillerle Doğrulama:
Bir alan modeli veya görselleştirme kullanılarak doğrulanabilir.
7. Rasyonel İfade Çözümü
Verilen eşitlikten x^2 + \frac{1}{x^2} ifadesinin değerini bulma problemidir. Her iki tarafın karesini alma ve sıradan denklem çözme teknikleri ile bulunabilir.
Soruları daha detaylı çözmek istersen belirttiğin numaralar doğrultusunda ilerleyebilirim.