1. Önerilerin Doğru veya Yanlışlık Durumları
Aşağıdaki önerilerin doğruluğunu inceleyelim:
I. \forall x, y \in \mathbb{R} için x - y - x = y - x olduğundan çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
- Yanlış (Y): Bu ifade değişme özelliğini değil, değişme özelliği toplama için geçerlidir.
II. \forall x, y \in \mathbb{R} için x \times 0 = 0 olacak şekilde \exists y \in \mathbb{R} sayısına yutan eleman denir.
- Doğru (D): 0 çarpma işleminin yutan elemanıdır.
III. \forall x, y \in \mathbb{R}, x \neq 0 için x \times y = y \times x = 1 olacak şekilde \exists x \in \mathbb{R} vardır ki x en yakın çarpma işlemine göre tersi denir.
- Yanlış (Y): Bu ifade çarpmanın ters elemanını yanlış açıklıyor.
IV. \forall x, y \in \mathbb{R} için |x| + |y| = 0 \implies x = 0 \land y = 0 olur.
- Doğru (D): Mutlak değerin tanımından ötürü bu ifade doğrudur.
2. Çarpma İşleminin Birleşme Özelliği
“Gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.” önerisini sembolik olarak yazalım ve örneklerle değerlendirelim.
Sembolik Gösterim:
$$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c), \forall a, b, c \in \mathbb{R}$$
Örnek:
- a = 2, b = 3, c = 4 \implies (2 \cdot 3) \cdot 4 = 2 \cdot (3 \cdot 4)
Her iki taraf da 24'e eşittir. Birleşme özelliği doğrulanmıştır.
3. Kare Almanın Karşılaştırılması
“Bir gerçek sayının karesi, her zaman kendisinden büyüktür.”
Bu önerme gerçek sayılar kümesinde her zaman geçerli değildir.
Örnek:
- x = 0.5 \implies x^2 = 0.25 yani x^2 < x
Önerme bu örnekle yanlışlanmıştır. \forall x \geq 1 \vee x \leq -1 için doğru olabilir.
4. Gerçek Sayıyı Bulma
Verilmiş olan,
$$(2 + 1) \cdot (2^2 + 1) \cdot (2^4 + 1) = 4^x - 1$$ eşitliğini kullanarak x değerini bulalım.
Adım Adım Çözüm:
- (2 + 1) = 3
- (2^2 + 1) = 5
- (2^4 + 1) = 17
Çarpalım: 3 \cdot 5 \cdot 17 = 255
Eşitlik: 255 = 4^x - 1 \implies 4^x = 256 \implies 4^x = 4^4
Buradan x = 4 olur.
5. İfadenin Eşiti
$$(x + y + z)^2 - (x - y - z)^2$$ ifadesini düzenleyelim.
Açılım:
- (x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz
- (x - y - z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2xz + 2yz
Çıkarım:
$$2xy + 2xz + 2yz - (\text{-}2xy - 2xz + 2yz) = 8xy + 8xz$$
6. Özdeşlik Bulma
a) (2x + y)^2 ifadesinin özdeşliği
Açılım:
$$(2x + y)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$$
b) Geometrik Yorum
Karelerin alanı ve geometrik şekiller yardımıyla doğrulayabiliriz.
7. İfadenin Değeri
x \in \mathbb{R} - \{0\}, x + \frac{1}{x} = 5 olduğuna göre x^2 + \frac{1}{x^2} ifadesinin değerini bulmamız gerekiyor.
Adım Adım Çözüm:
- (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}
- (5)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}
- 25 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} \implies x^2 + \frac{1}{x^2} = 23
Bu adımlar kullanılarak sorunun çözümü yapılmıştır.