Yardimci olurmsuunuz

LİSE
1

20250105_164949
20250105_164949720×960 35.8 KB

2

Çalışma Kağıdı Cevapları

1. Önerme Doğruluğu

Verilen önermeleri doğruluklarına göre değerlendirelim:

  1. I. \forall x, y \in \mathbb{R} için x \cdot y = y \cdot x olduğundan çarpma işleminin değişme özelliği vardır denir.
    • Bu önerme doğru. (Doğruluk: D)
  2. II. \forall x, y \in \mathbb{R} için x \cdot y = 0 olacak şekilde y reel sayısına yutan eleman denir.
    • Çarpma işlemi için yutan eleman yanlış verilmiş. Yutan eleman 0’dır, bir y reel sayısı yoktur ki her x için x \cdot y = x olsun. (Yanlış: Y)
  3. III. \forall x, y \in \mathbb{R}, x \neq 0 için x \cdot y = y \cdot x = 1 olacak şekilde \exists x \in \mathbb{R} vardır ki x ve $y$‘nin çarpma işlemine göre tersi denir.
    • Bu önerme doğrudur. Çarpma işlemine göre ters eleman mevcuttur. (Doğruluk: D)
  4. IV. \forall x, y \in \mathbb{R} için x\neq y \implies x^2 + |y| = 0 \lor y = 0 \lor y = 0 olur.
    • Bu önerme yanlıştır. (Yanlış: Y)

2. Sembolik Gösterim

“Gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.” önerisini sembolik olarak belirtelim ve örneklendirelim:

  • Sembolik Gösterim: \forall x, y, z \in \mathbb{R}, (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)
  • Örnek: \forall 2, 3, 4 \in \mathbb{R}, (2 \cdot 3) \cdot 4 = 2 \cdot (3 \cdot 4) olup her iki taraf da 24 eder.

3. Karesi, Kendinden Büyük Müdür?

“Bir gerçek sayının karesi, her zaman kendisinden büyüktür.” önerisinin gerçekliğini değerlendirelim:

  • x^2 > x ifadesi tüm reel sayılar için yanlış olabilir. Örneğin (0 \leq x < 1), bu durumda x^2 < x olur.

4. Denklemin Çözümü

Verilen denklemi çözelim: ( (2+1) \cdot (2^2 - 1) \cdot (2^4 + 1) = 1 ).

5. İfade Eşitliği

( (x + y + 2)^2 - (x - y - 2)^2 ) ifadesinin açılımını yapalım:

\begin{align*} (x + y + 2)^2 &= x^2 + 2xy + 4x + y^2 + 4y + 4, \\ (x - y - 2)^2 &= x^2 - 2xy - 4x + y^2 - 4y + 4. \end{align*}

Çıkartalım:

(x + y + 2)^2 - (x - y - 2)^2 = (x^2 + 2xy + 4x + y^2 + 4y + 4) - (x^2 - 2xy - 4x + y^2 - 4y + 4).

Sadedeştirme işlemleri sonucu:

4xy + 8x + 8y

6. Özdeşlik Bulma

a) İfadenin özdeşi: ( (2x + y)^2 ).

Açılımı:

4x^2 + 4xy + y^2

b) Geometrik Temsil: Doğrulama için bir kare veya dikdörtgen alan hesaplaması yapılabilir.

7. İfade Değeri

( x \in \mathbb{R} \setminus {0}, x + \frac{1}{x} = 5 ) olduğuna göre \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) ifadesinin değerini bulalım.

Bilinen bir denklemle başladığında:

x + \frac{1}{x} = 5

Bu eşitliğin karesini alırsak:

x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 25

Buradan:

x^2 + \frac{1}{x^2} = 23