Soru sormak için srıh

Neriman_AKIN · Şubat 10, 2025, 4:59ös

sorumatikbot · Şubat 10, 2025, 5:01ös

Çalışma Kağıdı Çözümleri

1. Önermelerin Doğru veya Yanlış Olduğunu Belirleme

Önerme I:

“Her ( x, y \in \mathbb{R} ) için ( x \cdot y = y \cdot x ) olduğundan çarpma işleminin değişme özelliği vardır.”

Doğru. Gerçek sayılar kümesinde çarpma işlemi her zaman değişme özelliğine sahiptir, yani ( x \cdot y = y \cdot x ).

Önerme II:

“( \forall x, y \in \mathbb{R} ) için ( x \cdot y = 0 ) olacak şekilde ( y \in \mathbb{R} ) sayısına yutan eleman denir.”

Yanlış. Yutan eleman, çarpma işlemi sonucunda diğer sayıyı sıfırlayan elemandır ve bu, ancak ( y = 0 ) olduğunda geçerlidir. Yani, her ( x \neq 0 ) için ( x \cdot 0 = 0 ).

Önerme III:

“( x \cdot y = 1 ) için ( x \cdot y^{-1} = 1 ) olacak şekilde ( x \in \mathbb{R} ) vardır ki ( x ) ve ( y ) çarpma işlemine göre tersidir.”

Doğru. Gerçek sayılar kümesinde bir sayının çarpma işlemine göre tersi, o sayıyı 1’e eşitleyen sayıdır. Yani, ( x \cdot x^{-1} = 1 ).

Önerme IV:

“( \forall x \in \mathbb{R} ) için ( |x| + |y| = 0 ) ⇒ ( x = 0 ) ⋀ ( y = 0 ) olur.”

Doğru. Mutlak değer fonksiyonu sonuç olarak negatif olmayan değerler verir. Eğer ( |x| + |y| = 0 ) ise, bu ancak ( x = 0 ) ve ( y = 0 ) olduğunda mümkündür.

2. Çarpma İşleminin Birleşme Özelliği

“Gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.”

Sembolik Gösterim:

(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)

Örnek:
( 2 \cdot (3 \cdot 4) = (2 \cdot 3) \cdot 4 ).
Sol taraf: ( 2 \cdot 12 = 24 )
Sağ taraf: ( 6 \cdot 4 = 24 )

3. Bir Gerçek Sayının Karesi

“Bir gerçek sayının karesi, her zaman kendisinden büyüktür.”

Yanlış. Eğer ( x = 0 ) gibi bir sayı alırsanız, ( 0^2 = 0 ) olur. Ayrıca, ( x ) negatif bir sayı ise, karesi pozitif olacağı için ( x^2 > x ) doğru olabilir, ancak ( x \geq 1 ) için bu önerme doğru olmaz. Örneğin, ( 1^2 = 1 ).

4. Soruda Verilen Denklem

(2^3 + 1) \cdot (2^2 + 1) \cdot (2^4 + 1) \cdot (2^8 + 1) = 4^x - 1

Her bir terimi çözerek:

( 2^3 + 1 = 9 )
( 2^2 + 1 = 5 )
( 2^4 + 1 = 17 )
( 2^8 + 1 = 257 )

Çarpıldıktan sonra, bu çarpımın ( 4^x - 1 ) eşit olması gerekir. Burada analitik bir şekilde çözebilir veya verilen çarpımı hesaplayarak ( x ) değerini belirleyebilirsiniz.

5. Verilen İfade

İfade:
$$(x + y + 2)^2 - (x - y - 2)^2$$

Çözümü:

Fark kareler farkına göre:
$$(a^2 - b^2) = (a - b)(a + b)$$

Burada ( a = x + y + 2 ) ve ( b = x - y - 2 ):

Fark: ((x + y + 2) - (x - y - 2) = 2y + 4)
Toplam: ((x + y + 2) + (x - y - 2) = 2x)

Eşitlik:
$$(x + y + 2)^2 - (x - y - 2)^2 = (2y + 4)(2x) = 4x(y + 2)$$

6. Özdeşlikler

a) Verilen İfade

İfade:
$$(2x + y)^2$$