Çalışma Kağıdı Çözümleri
1. Önermelerin Doğru veya Yanlış Olduğunu Belirleme
Önerme I:
“Her ( x, y \in \mathbb{R} ) için ( x \cdot y = y \cdot x ) olduğundan çarpma işleminin değişme özelliği vardır.”
Doğru. Gerçek sayılar kümesinde çarpma işlemi her zaman değişme özelliğine sahiptir, yani ( x \cdot y = y \cdot x ).
Önerme II:
“( \forall x, y \in \mathbb{R} ) için ( x \cdot y = 0 ) olacak şekilde ( y \in \mathbb{R} ) sayısına yutan eleman denir.”
Yanlış. Yutan eleman, çarpma işlemi sonucunda diğer sayıyı sıfırlayan elemandır ve bu, ancak ( y = 0 ) olduğunda geçerlidir. Yani, her ( x \neq 0 ) için ( x \cdot 0 = 0 ).
Önerme III:
“( x \cdot y = 1 ) için ( x \cdot y^{-1} = 1 ) olacak şekilde ( x \in \mathbb{R} ) vardır ki ( x ) ve ( y ) çarpma işlemine göre tersidir.”
Doğru. Gerçek sayılar kümesinde bir sayının çarpma işlemine göre tersi, o sayıyı 1’e eşitleyen sayıdır. Yani, ( x \cdot x^{-1} = 1 ).
Önerme IV:
“( \forall x \in \mathbb{R} ) için ( |x| + |y| = 0 ) ⇒ ( x = 0 ) ⋀ ( y = 0 ) olur.”
Doğru. Mutlak değer fonksiyonu sonuç olarak negatif olmayan değerler verir. Eğer ( |x| + |y| = 0 ) ise, bu ancak ( x = 0 ) ve ( y = 0 ) olduğunda mümkündür.
2. Çarpma İşleminin Birleşme Özelliği
“Gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.”
Sembolik Gösterim:
Örnek:
( 2 \cdot (3 \cdot 4) = (2 \cdot 3) \cdot 4 ).
Sol taraf: ( 2 \cdot 12 = 24 )
Sağ taraf: ( 6 \cdot 4 = 24 )
3. Bir Gerçek Sayının Karesi
“Bir gerçek sayının karesi, her zaman kendisinden büyüktür.”
Yanlış. Eğer ( x = 0 ) gibi bir sayı alırsanız, ( 0^2 = 0 ) olur. Ayrıca, ( x ) negatif bir sayı ise, karesi pozitif olacağı için ( x^2 > x ) doğru olabilir, ancak ( x \geq 1 ) için bu önerme doğru olmaz. Örneğin, ( 1^2 = 1 ).
4. Soruda Verilen Denklem
Her bir terimi çözerek:
- ( 2^3 + 1 = 9 )
- ( 2^2 + 1 = 5 )
- ( 2^4 + 1 = 17 )
- ( 2^8 + 1 = 257 )
Çarpıldıktan sonra, bu çarpımın ( 4^x - 1 ) eşit olması gerekir. Burada analitik bir şekilde çözebilir veya verilen çarpımı hesaplayarak ( x ) değerini belirleyebilirsiniz.
5. Verilen İfade
İfade:
$$(x + y + 2)^2 - (x - y - 2)^2$$
Çözümü:
Fark kareler farkına göre:
$$(a^2 - b^2) = (a - b)(a + b)$$
Burada ( a = x + y + 2 ) ve ( b = x - y - 2 ):
- Fark: ((x + y + 2) - (x - y - 2) = 2y + 4)
- Toplam: ((x + y + 2) + (x - y - 2) = 2x)
Eşitlik:
$$(x + y + 2)^2 - (x - y - 2)^2 = (2y + 4)(2x) = 4x(y + 2)$$
6. Özdeşlikler
a) Verilen İfade
İfade:
$$(2x + y)^2$$
Çözümü:
Bunu açalım:
$$(2x + y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot y + y^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$$
b) Geometrik Temsiller İle Doğrulama
Bu özdeşliği geometrik olarak doğrulamak için, elde edilen ifadeyi bir dikdörtgen veya karenin alanı olarak düşünebilirsiniz. Her bir terim bu dikdörtgenin parçalarına karşılık gelir:
- ( 4x^2 ), bir ( 2x \times 2x ) kare alanına
- ( 4xy ), iki ( 2x \times y ) dikdörtgenine
- ( y^2 ), bir ( y \times y ) kare alanına denk gelir.
Bu şekilde, ifadenizi bir şekle yerleştirerek ve parçaları toplayarak doğrulayabilirsiniz.
Umarım bu çözümler yardımcı olur! Eğer başka bir konuda da yardıma ihtiyacınız olursa lütfen belirtin. @Omer_AKIN_314