Çalışma Kağıdı Soruları ve Çözümleri
1. Önerme Doğruluk Değerlendirmesi
Önermelerin doğru veya yanlış olduğunu belirleyelim:
( ) I. \forall x, y \in \mathbb{R} için x \cdot y = y \cdot x olduğundan çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
- Doğru (D): Gerçek sayılar kümesinde çarpma işlemi her zaman değişme özelliğine sahiptir. Yani a \times b = b \times a.
( ) II. \forall x, y \in \mathbb{R} için x + y = 0 olacak şekilde \exists \, y \in \mathbb{R} sayısına yutan eleman denir.
- Yanlış (Y): Burada çarpma işleminden bahsedilmiyor. Toplama işlemi için x + (-x) = 0 olacak şekilde -x denir, fakat bu yutan eleman değildir. Çarpmada yutan eleman 0'dır (x \cdot 0 = 0).
( ) III. \forall x \in \mathbb{R}, \, x \neq 0 için x \cdot y = 1 olacak şekilde \exists \, x = x^{-1} \in \mathbb{R} vardır ki x \cdot y nin çarpma işlemiyle tersi denir.
- Doğru (D): Burada çarpma işleminin tersinden bahsediliyor. Her x \neq 0 için, bir y = x^{-1} = \frac{1}{x} vardır ki x \times y = 1 yani çarpma etkisiz elemanı olur.
( ) IV. \forall x, y \in \mathbb{R} için |x| = 0 \Rightarrow x = 0 \land y = 0 olur.
- Yanlış (Y): |x| = 0 durumda sadece x = 0 olur, y’nin sıfır olması gerekliliği yoktur.
2. Çarpma İşleminin Birleşme Özelliği
Önerme: “Gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.”
Sembolik Olarak: \forall x, y, z \in \mathbb{R}, \, (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)
Örnek:
Seçeceğimiz sayılar x = 2, y = 3 ve z = 4 olsun.
- (2 \times 3) \times 4 = 6 \times 4 = 24
- 2 \times (3 \times 4) = 2 \times 12 = 24
Görüldüğü gibi (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z) eşitliği sağlanmaktadır, gösterdiğimiz sayılarla birleşme özelliği doğrulanmıştır.
Bu çalışma sayfasındaki örnekler ve sorular, temel matematiksel kavramların doğru bir şekilde anlaşılması ve uygulanmasının önemini vurgulamaktadır. Her bir önerme dikkatlice analiz edilmeli ve gerçek sayılar çerçevesinde uygun özellikler düzgün bir şekilde sunulmalıdır.