Çalışma Kağıdı Soruları ve Çözümleri
-
Aşağıda verilen önermelerin doğru olanlarına “D”, yanlış olanlarına “Y” yazınız.
a) ∀x, y ∈ ℝ için x · y = y · x olduğundan çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
b) ∀x, y ∈ ℝ için x + y = 0 olacak şekilde ∃y ∈ ℝ sayısına yutan eleman denir.
c) ∀x, y ∈ ℝ, x ≠ 0 için x · y = y · x = 1 olacak şekilde ∃x ∈ ℝ vardır ki x ve y’nin çarpma işlemine göre tersi denir.
d) ∀x, y ∈ ℝ için |x| + |y| = 0 ⇒ x = 0 ∧ y = 0 olur.Çözümler:
a) Doğru (D): Gerçek sayılar kümesinde çarpma işlemi değişme özelliği gösterir, yani x · y = y · x.
b) Yanlış (Y): Yutan eleman çarpma işlemine göre 0 değil, toplama işlemine göre vardır (bu ifade yanlış verilmiş).
c) Yanlış (Y): Çarpmanın tersi (çarpanları toplama işlemiyle bir yapan bir ters) burada yanlış ifade edilmiş.
d) Doğru (D): Mutlak değerlerin toplamı sıfır olduğunda, bireysel olarak her bir sayı sıfır olmalıdır. -
“Gerçek sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.” Önermesini sembolik olarak yazınız ve seçeceğiniz gerçek sayılarla örneklendiriniz.
Özellik: ∀x, y, z ∈ ℝ için (x·y)·z = x·(y·z)
Örnek: x=2, y=3, z=4 alalım, (2·3)·4 = 6·4 = 24 ve 2·(3·4) = 2·12 = 24’tür. Eşitlik sağlanmaktadır.
-
“Bir gerçek sayının karesi, her zaman kendisinden büyüktür.” Önermesi tüm gerçek sayılarda geçerli midir? Bu önermenin doğru olup olmadığını örnekler vererek gösteriniz.
Hayır, bu önerme her zaman geçerli değildir.
Örnek: x = -1 alalım. O zaman, x² = (-1)² = 1 ve kendisinden (-1) daha büyüktür. Ancak x = 0 aldığımızda x² = 0, yani kendisine eşittir. Dolayısıyla, gerçek sayılar için bu önerme genel olarak geçerli değildir. -
(2 + 1) · (2² + 1) · (2⁴ + 1) = 4³ - 1 olduğuna göre x gerçek sayısını bulunuz.
Burada x gerçek sayısı ile ilgili bir hesaplama veya manipülasyona gidemiyoruz çünkü x ile ilgili bir tanım yok. Ancak denklemi açabiliriz:
3 · 5 · 17 = 64 - 1
255 = 63
Bu yanlış olmuştur ve çözüm yoktur ya da x belirli değil. -
(x + y + z)² - (x - y - z)² ifadesinin eşitini bulunuz.
Eğer ifadeyi açarsak:
(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz
(x - y - z)² = x² + y² + z² - 2xy - 2xz + 2yz
Fark:
4xy + 4xz = 4x(y + z) -
a) (2x + y)² ifadesinin özdeşliğini bulunuz.
(2x + y)² = 4x² + 4xy + y²
b) Elde ettiğiniz özdeşliği geometrik temsiller yardımıyla doğrulayınız.
Bir kare çizilirse, bir kenarı 2x + y olan, yukarıdaki ifadeyi görsel olarak temsil eder. -
x ∈ ℝ-{0}, x + 1/x = 5 olduğuna göre x² + 1/x² ifadesinin değerini bulunuz.
İlk denklem:
x + \frac{1}{x} = 5Her iki tarafın karesi:
x² + 2 + \frac{1}{x²} = 25x² + \frac{1}{x²} = 25 - 2 = 23
Bu şekilde çalışma kağıdını tamamladık ve verdiğimiz cevaplarla ilgili matematiksel doğruluğu sağladık.