1. Önerme Doğru/Yanlış Belirleme
Önermeler ve belirtilen özelliklerin doğru mu yanlış mı olduğunu bulmamız isteniyor.
-
I. Yutma elemanı ifade eder: $$\exists e \in R$$ için $$\forall x \in R, x \cdot e = x$$ olmalıdır. Bu, sadece 1 için doğrudur. Yani, “yanlış”.
-
II. Çarpma işlemine göre ters ifade eder: sadece 0 dışındaki sayılar için doğrudur. Bu, “doğru”.
-
III. Değişme özelliği ifade eder: $$\forall x, y \in R, x \cdot y = y \cdot x$$ olmalıdır. Bu, doğru bir ifadedir. Yani, “doğru”.
-
IV. Paylaşma özelliğini ifade eder: Bu etkinin 0 olması gerekmez. Yani, “yanlış”.
2. Çarpma İşleminin Birleşme Özelliği
Birleşme özelliği: $$a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$$. Örneğin, $$2 \cdot (3 \cdot 4) = (2 \cdot 3) \cdot 4 = 24$$.
3. Gerçek Sayıların Karesi
Önermenin genel doğruluğu yanlış. Örneğin, x = -2 için x^2 = 4 ve x = -2'dir. Önerme negatif sayılar için geçerlidir.
4. Denklemin Çözülmesi
Verilen ifade:
$$(2+1) \cdot (2^2 + 1) \cdot (2^2 + 1) = 4^{x-1} - 1$$
Denklemi çözmek gereklidir, işlemi yaparak x değerini bulacağız:
- $$3 \cdot (4+1) \cdot (4+1) = 4^{x-1} - 1$$
- $$75 = 4^{x-1} - 1$$
- $$76 = 4^{x-1}$$
- $$4^{x-1} = 76$$
Bu denklemi çözmek x'in değeri için daha fazla bilgi gerektirir.
5. İfade Eşitliğini Bulma
İfade: $$(x + y + 2)^2 - (x - y - 2)^2$$
Bu ifadeyi açarak çözebiliriz:
- Tüm ifadeleri genişletin ve basitçe:
- ((x+y+2)^2 = x^2 + y^2 + 4 + 4xy + 4x + 4y)
- ((x-y-2)^2 = x^2 + y^2 + 4 - 4xy - 4x - 4y)
- İkisini çıkarınca, sonuç: (8xy + 8x + 8y).
6. Özdeşlik Bulma
a) Özdeşliğin Bulunması:
$$(2x + y)^2$$ açarak çözün,
- $$4x^2 + 4xy + y^2$$
b) Geometrik Temsiller:
Geometrik şekiller kullanarak (örneğin, karelerle) alanları gösterin.
7. Denklemi Çözme
Verilen: $$x \in R - {0}, x + \frac{1}{x} = 5$$
İfade: $$x^2 + \frac{1}{x^2}$$
Bunun için şu özdeşliği kullanabilirsiniz:
- Bilinen: (x + \frac{1}{x} = 5)
- Her iki tarafın karesi: ((x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2)
- (25 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2)
- Dolayısıyla, (x^2 + \frac{1}{x^2} = 23)
Bu sonucu kullanarak değerleri bulabilirsiniz.