Görselde verilen matematik soruları için yardımcı olmaya çalışacağım.
1. Önermelerin Doğruluk Durumu
Aşağıdaki önermelerin doğru veya yanlış olduğunu analiz edelim:
-
I. Yanlış. Söylenen çarpma işleminin değişme özelliğidir ancak verilen ifade toplama işlemi için geçerlidir.
-
II. Doğru. x \cdot 0 = 0 olacağından 0 çarpma işleminde yutan elemandır.
-
III. Yanlış. Verilen ifade toplama işleminde ters eleman için doğrudur ancak çarpma için değildir.
-
IV. Doğru. |x| \cdot |y| = 0 ancak x = 0 veya y = 0 olduğunda olabilir.
2. Gerçek Sayılar Kümesinde Çarpma İşleminin Birleşme Özelliği
Çarpma işlemi için birleşme özelliği: (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c).
Örnek: 2 \cdot (3 \cdot 4) = (2 \cdot 3) \cdot 4
Her iki durumun sonucu da 24 olur.
3. Bir Gerçek Sayının Karesi Kendisinden Büyük müdür?
Önerme tüm gerçek sayılar için geçerli değildir.
Örnek: 0.5^2 = 0.25 burada 0.25 < 0.5.
Dolayısıyla, negatif sayılar ve 0 < x < 1 aralığı için önerme yanlıştır.
4. Denklemi Sağlayan (x) Gerçek Sayısını Bulma
Verilen denklem: (2 + 1) \cdot (2^2 + 1) \cdot (2^4 + 1) = 4^x - 1
- Sol taraf: 3 \cdot 5 \cdot 17 = 255
- 4^x - 1 = 255 ise 4^x = 256
- 4^4 = 256 olduğundan x = 4
5. İfadenin Eşiti: ((x+y+z)^2 - (x-y-z)^2)
Çözüm:
Bu ifade: (2x)(2y + 2z) = 4x(y + z) olur.
6. (a) ((2x+y)^2) İfadesinin Özdeşi
Parantezin açılması:
$$(2x + y)^2 = 4x^2 + 4xy + y^2$$
(b) Doğrulama için bu özdeşi geometrik temsil kullanılarak gösterilebilir.
7. Verilen Koşula Göre İfadenin Değerini Bulma
Verilen: x \in \mathbb{R} - \{0\},\ x + \frac{1}{x} = 5
İstenen: x^2 + \frac{1}{x^2}
Çözüm için her iki tarafın karesini alın:
Sonuç: