Yap ulenn

YKS TYT
1

6003621259511973687_121
6003621259511973687_121443×1080 33.5 KB

2

Fonksiyonun f(1) ifadesini bulmak için verilen fonksiyonda x yerine 1 koymamız gerekir.

Fonksiyon:

f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2 + 7}

Adım 1: x = 1 yerine koy

f(1) = \frac{1}{1} + \frac{1}{1^2 + 7}

Adım 2: Hesaplama

1’in karesi 1 olduğundan:

f(1) = \frac{1}{1} + \frac{1}{1 + 7}
f(1) = 1 + \frac{1}{8}

Adım 3: Toplama

Bir tam sayı ve kesirli bir sayı toplanırken:

f(1) = 1 + 0.125 = 1.125

Bu sonucun herhangi bir şıklarda olmadığını görüyorum, ya şıklarda hata olabilir ya da farklı bir problem bulunabilir. Eğer soruyu detaylandırma şansınız varsa, lütfen belirtin.

@username

3

f(x) = 1/x + 1/x² + 7 fonksiyonu için f′(1) ifadesinin sonucu kaçtır?

Cevap:

Aşağıdaki çözümde, öncelikle f(x) fonksiyonunun türevini alacağız ve ardından x=1 noktasında bu türevi hesaplayarak soruda istenen sonuca ulaşacağız. Soruda verilen fonksiyon:

f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + 7

Bu fonksiyonun türevini alırken şu türev kurallarını hatırlamakta fayda var:

  1. Sabit bir ifadenin (örneğin 7’nin) türevi 0’dır.
  2. 1/x ifadesi x^{-1} şeklinde yazılabilir ve türevi -x^{-2} yani -\frac{1}{x^2} olur.
  3. 1/x^2 ifadesi x^{-2} şeklinde yazılabilir ve türevi -2x^{-3} yani -\frac{2}{x^3} olur.

Aşağıda her terimin türevi adım adım gösterilmiştir.

1. Terimlerin Türevi

  1. $\frac{1}{x}$’in türevi:

    • \frac{1}{x} = x^{-1}
    • Türevi:
      \frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}

  2. $\frac{1}{x^2}$’in türevi:

    • \frac{1}{x^2} = x^{-2}
    • Türevi:
      \frac{d}{dx}\left(x^{-2}\right) = -2 \cdot x^{-3} = -\frac{2}{x^3}

  3. 7’nin türevi:

    • 7 sabit bir sayıdır, dolayısıyla türevi 0’dır.

2. Toplamın Türevi

Fonksiyonda payda içinde veya çarpma yoksa (basit toplama halinde) her terimin türevini ayrı ayrı alıp toplayabiliriz. Yani,

f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + 7

için

f'(x) = \left(\frac{1}{x}\right)' + \left(\frac{1}{x^2}\right)' + 7'

Bir önceki adımda bulduğumuz sonuçları yerine koyalım:

f'(x) = -\frac{1}{x^2} + \left(-\frac{2}{x^3}\right) + 0

Dolayısıyla,

f'(x) = -\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3}.

3. x=1 Noktasında Değerini Bulma

Şimdi türev ifadesine x=1 yazalım:

f'(1) = -\frac{1}{1^2} - \frac{2}{1^3}

Basitçe:

f'(1) = -1 - 2 = -3.

Bu da bize f’(1) = -3 sonucunu verir.

Özet ve Örneklerle Açıklama

Yukarıdaki işlemleri şu maddelerle özetleyebiliriz:

  • 1/x’nin türevi: 1/x ifadesi x üzeri -1 olarak düşünüldüğünde, türevi -1·x⁻² = -1/x² olur.
  • 1/x²’nin türevi: 1/x² ifadesi x üzeri -2 olarak düşünüldüğünde, türevi -2·x⁻³ = -2/x³ olur.
  • 7 gibi sabit sayıların türevi: Sıfırdır.

Sonrasında bu türevleri topladığımızda:

  1. -1/x²,
  2. -2/x³,
  3. 0 (sabitin türevi),

ve x=1 yazıldığında -1 - 2 = -3 elde ederiz. Çoktan seçmeli şıklarda -3 genellikle A seçeneği olarak sunulur.

Aşağıdaki tabloda adımları tek bakışta görebilirsiniz:

Adım İşlem Sonuç
1. f(x) ifadesi f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + 7 -
2. Türevi hesaplama (terim terim) \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2} \left(\frac{1}{x^2}\right)' = -\frac{2}{x^3}, 7'=0
3. Türevlerin toplamı -\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3} + 0 f'(x)
4. x=1’de türev değeri f'(1) = -1 - 2 = -3 -3

Görüldüğü üzere, bu fonksiyonun x=1 noktasındaki türevi -3 olarak bulunur.

Sonuç ve Kısa Özet

  • Fonksiyon: f(x)=\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + 7
  • Türev: f'(x)= -\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3}
  • x=1’de Değer: f'(1)=-1 - 2=-3

Dolayısıyla, çoktan seçmeli şıklarda verilen değerlere bakıldığında doğru cevap -3 olur.

@Smaug_Thorin

4

f(x) = 1 + 1/x + x² + 7 olarak okunuyorsa türevini şu şekilde alabiliriz:

  1. Sabit sayıların türevi 0’dır:
    d/dx (1) = 0 ve d/dx (7) = 0.

  2. 1/x’in türevi -1/x²’dir.

  3. x²’nin türevi 2x’tir.

Dolayısıyla
f′(x) = d/dx (1) + d/dx (1/x) + d/dx (x²) + d/dx (7)
f′(x) = 0 - 1/x² + 2x + 0
f′(x) = 2x - 1/x².

Şimdi x = 1 için:
f′(1) = 2·1 - 1/1² = 2 - 1 = 1.

Cevap, çoktan seçmeli seçeneklerden 1 (D şıkkı) olacaktır.

@username