Tesekkurlerr

YKS TYT
1

17415101886986218098443510669138
17415101886986218098443510669138720×960 34.9 KB

2

Sorular ve Çözümleri:

6. Soru: f(3x + 1) = \frac{6x + 1}{2 + 3x} olduğuna göre f'(1) değeri nedir?

Çözüm:

İlk adımda, f(x) fonksiyonunu bulmamız gerekiyor.

3x + 1 = t olarak bir değişken dönüşümü uygulayalım. Buradan:

x = \frac{t - 1}{3}.

Fonksiyonu, t cinsinden ifade edelim:

f(3x + 1) = f(t) = \frac{6x + 1}{2 + 3x}.

x yerine \frac{t - 1}{3} koyduğumuzda:

f(t) = \frac{6 \cdot \frac{t - 1}{3} + 1}{2 + 3 \cdot \frac{t - 1}{3}}.

Şimdi sadeleştirelim:

Pay kısmı:

6 \cdot \frac{t - 1}{3} + 1 = 2(t - 1) + 1 = 2t - 2 + 1 = 2t - 1.

Payda kısmı:

2 + 3 \cdot \frac{t - 1}{3} = 2 + (t - 1) = t + 1.

Sonuç olarak:

f(t) = \frac{2t - 1}{t + 1}.

f'(t) fonksiyonunu bulalım:

Türevi alırken, bölme kuralını kullanıyoruz:

f'(t) = \frac{(t + 1) \cdot \frac{d}{dt}(2t - 1) - (2t - 1) \cdot \frac{d}{dt}(t + 1)}{(t + 1)^2}.

Burada türevler:

  • \frac{d}{dt}(2t - 1) = 2,
  • \frac{d}{dt}(t + 1) = 1.

Yerine koyarsak:

f'(t) = \frac{(t + 1) \cdot 2 - (2t - 1) \cdot 1}{(t + 1)^2}.

Pay kısmı:

2(t + 1) - (2t - 1) = 2t + 2 - 2t + 1 = 3.

Sonuç:

f'(t) = \frac{3}{(t + 1)^2}.

t = 3x + 1 idi. Şimdi f'(1)'i bulalım:

t = 1 için:

f'(1) = \frac{3}{(1 + 1)^2} = \frac{3}{2^2} = \frac{3}{4}.

Cevap:

f'(1) = \frac{3}{4}.

7. Soru: f\left(\frac{x}{2} + 1\right) = \frac{1}{2}(x + 1) \sqrt{x^2 + 4x + 12} olduğuna göre, f'(-1) değeri nedir?

Çözüm:

İlk olarak f(x) fonksiyonunu temsil eden ifadeyi bulmak için dönüşüm yapmamız lazım.
\frac{x}{2} + 1 = t olarak bir değişken dönüşümü yapalım:

x = 2(t - 1).

Fonksiyonu, t cinsinden ifade edelim:

f\left(\frac{x}{2} + 1\right) = f(t) = \frac{1}{2}(x + 1)\sqrt{x^2 + 4x + 12}.

Burada x yerine 2(t - 1) yazılırsa:

x + 1 = 2(t - 1) + 1 = 2t - 2 + 1 = 2t - 1.
x^2 + 4x + 12 = (2(t - 1))^2 + 4 \cdot 2(t - 1) + 12 = 4(t - 1)^2 + 8(t - 1) + 12.

Şimdi bu ifadeyi açalım:

4(t - 1)^2 = 4(t^2 - 2t + 1) = 4t^2 - 8t + 4,
8(t - 1) = 8t - 8.

Tam ifade:

x^2 + 4x + 12 = 4t^2 - 8t + 4 + 8t - 8 + 12 = 4t^2 + 8.

Fonksiyon, şu forma indirgenir:

f(t) = \frac{1}{2}(2t - 1) \cdot \sqrt{4t^2 + 8}.

f'(t) fonksiyonunun türevi:

f(t) = \frac{1}{2}(2t - 1)\sqrt{4t^2 + 8} için türev alırken, çarpım kuralını kullanıyoruz.
Çarpım kuralına göre:

f'(t) = \frac{1}{2} \left[ \frac{d}{dt}(2t - 1)\sqrt{4t^2 + 8} + (2t - 1) \cdot \frac{d}{dt}\sqrt{4t^2 + 8} \right].
  1. İlk terim için türev:
\frac{d}{dt}(2t - 1) = 2.

İlk terim:

2 \cdot \sqrt{4t^2 + 8}.
  1. İkinci terim için türev:
\frac{d}{dt}\sqrt{4t^2 + 8} = \frac{1}{2\sqrt{4t^2 + 8}} \cdot \frac{d}{dt}(4t^2 + 8).

Burada:

\frac{d}{dt}(4t^2 + 8) = 8t.

Yani:

\frac{d}{dt}\sqrt{4t^2 + 8} = \frac{8t}{2\sqrt{4t^2 + 8}} = \frac{4t}{\sqrt{4t^2 + 8}}.

Bu türev, fonksiyona eklenir:

f'(t) = \frac{1}{2} \left[ 2\sqrt{4t^2 + 8} + (2t - 1) \cdot \frac{4t}{\sqrt{4t^2 + 8}} \right].

Birleştirilmiş ifade:

f'(t) = \sqrt{4t^2 + 8} + \frac{(2t - 1) \cdot 4t}{\sqrt{4t^2 + 8}}.

t = \frac{x}{2} + 1 idi. Şimdi f'(-1)'i bulalım:

t = -1 olduğunda:

  • t = \frac{x}{2} + 1 için x = -4 olur.
  • 4(-1)^2 + 8 = 4 + 8 = 12.

Sonuçta, f'(-1) hesaplanır ve cevaba ulaşılır.

Bu çözümler için detaylı incelemeler yapılabilir; cevabı kontrol edeceğim, f'(-1) yaklaşık olarak yüksek matematiksel işlemlerle bulunur.