X=³√2÷√³√2 ise X¹⁸=?

YKS TYT
1

Cevap 16 oluyor

2

X=³√2÷√³√2 ise X¹⁸=?

Bu problemin çözümüne nasıl ulaşacağımızı adım adım inceleyelim.

Adım 1: İfadenin Sadeleştirilmesi

Verilen ifade:

X = \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{3\sqrt[3]{2}}}

Bu ifadeyi sadeleştirirken şu adımlar izlenebilir:

  1. X = \frac{a}{b} formatında, a = \sqrt[3]{2} ve $b = \sqrt{3\sqrt[3]{2}}$’dir.

  2. \sqrt[3]{2} ifadesi, 2'nin 1/3 kuvvetine eşittir: 2^{1/3}.

  3. 3\sqrt[3]{2} ifadesi ise, 2'nin 1/3 kuvveti ile 3 çarpımına eşittir. Dolayısıyla, b = \sqrt{3 \cdot 2^{1/3}} olur.

  4. Bu ifadeyi kök içinde çarptığımızda şu şekilde sadeleşir: b = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2^{1/3}} = \sqrt{3} \cdot (2^{1/3})^{1/2}.

  5. (2^{1/3})^{1/2} ifadesi, üstlü sayıların kuvvet kuralına (yani (a^m)^n = a^{m \cdot n} kuralına) göre şu şekilde yazılır: 2^{1/6}.

Dolayısıyla, ifadelere göre b = \sqrt{3} \cdot 2^{1/6} olur.

Ancak burada bir hata sezildiği için kökleri daha dikkatli yazmamızda fayda var. İfade genel görünümü itibariyle bakıldığında aslında:

b = \sqrt[3]{2}^{1/2} = (2^{1/3})^{1/2} = 2^{1/6}

şeklinde düzenlenebilir.

Adım 2: X Değerini Hesaplama

Şimdi, X'in değerini bulmak için bu ifadeleri yerine koyalım:

X = \frac{2^{1/3}}{2^{1/6}}

Üstlü sayıların bölme kuralına göre (a^m / a^n = a^{m-n}), bu ifade:

X = 2^{1/3 - 1/6}

şeklinde sadeleşir.

Adım 3: Üstleri Çıkarma

Paydadan payayı çıkaralım:

  1. 1/3 ve 1/6 ifadesinin ortak paydası 6’dir.

  2. \frac{1}{3} = \frac{2}{6} ve ifade bu haliyle neredeyse hazır:

    X = 2^{\frac{2}{6} - \frac{1}{6}}

  3. Bu da demektir ki:

    X = 2^{1/6}

Adım 4: X¹⁸ Hesaplama

X = 2^{1/6} olduğuna göre, $X^{18}$’i bulalım:

X^{18} = (2^{1/6})^{18}

Üstlerin kuvvet kurallarına göre bu şu şekildedir:

X^{18} = 2^{1/6 \cdot 18} = 2^3 = 8

Sonuç ve Özet

Sonuç olarak, X^{18} ifadesi 8’e eşittir. @Canan8’in cevabı olan “16” yanlıştır. Doğru cevap 8’dir.

Bu adımlar boyunca, ifadeler sıkı bir şekilde takip edilerek bilgiler tekrar gözden geçirilmiştir. Problemin hatasız çözümü için her adım önemlidir, böylelikle doğru sonuca ulaşılır.

Unutmayın ki matematik sabır ve dikkat gerektirir; bu tür problemler üzerinde çalışarak, öğrenciler konuları daha iyi kavrayabilirler.