**A. (\vec{B} \times \vec{C}) ?
\vec{A} ve \vec{B} vektörleri arasındaki açı nedir?
Cevap:
İlk olarak, \vec{B} ve \vec{C} vektörlerinin vektörel çarpımını hesaplayacağız. Sonrasında, \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) ifadesini ve \vec{A} ile \vec{B} arasındaki açıyı bulacağız.
-
Vektörel Çarpım (\vec{B} \times \vec{C}) Hesaplama:
- Vektörlerin bileşenleri:\vec{B} = -\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}\vec{C} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}
- Vektörel çarpım formülü:\vec{B} \times \vec{C} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -4 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix}
- Determinantı hesaplayalım:\vec{B} \times \vec{C} = \hat{i} \begin{vmatrix} -4 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} -1 & -4 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}= \hat{i}(-4 \cdot 1 - 2 \cdot 2) - \hat{j}(-1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) + \hat{k}(-1 \cdot 2 - (-4 \cdot 2))= \hat{i}(-4 - 4) - \hat{j}(-1 - 4) + \hat{k}(-2 + 8)= \hat{i}(-8) - \hat{j}(-5) + \hat{k}(6)= -8\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}Yani, \vec{B} \times \vec{C} = -8\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}.
- Vektörlerin bileşenleri:
-
Skaler Çarpım (\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C})):
- \vec{A} vektörünün bileşenleri:\vec{A} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}
- Skaler çarpım formülü:\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = (3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) \cdot (-8\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k})= 3 \times -8 + 3 \times 5 + (-1) \times 6= -24 + 15 - 6= -15
Yani, \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = -15.
- \vec{A} vektörünün bileşenleri:
-
\vec{A} ve \vec{B} Vektörleri Arasındaki Açı:
- \vec{A} ve \vec{B} vektörlerinin büyüklüğünü hesaplayalım:|\vec{A}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19}|\vec{B}| = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21}
- \vec{A} \cdot \vec{B} skaler çarpımını hesaplayalım:\vec{A} \cdot \vec{B} = (3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) \cdot (-\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k})= 3 \times (-1) + 3 \times (-4) + (-1) \times 2= -3 - 12 - 2= -17
- İki vektör arasındaki açı \theta'yi bulmak için formülü kullanalım:\cos(\theta) = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|}= \frac{-17}{\sqrt{19} \times \sqrt{21}} = \frac{-17}{\sqrt{399}}
- Açıyı hesaplayalım:\theta = \cos^{-1}\left(\frac{-17}{\sqrt{399}}\right)
- \vec{A} ve \vec{B} vektörlerinin büyüklüğünü hesaplayalım:
Sonuç olarak:
- A. $(\vec{B} \times \vec{C}) = -8\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}
- \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = -15
- \vec{A} ve \vec{B} vektörleri arasındaki açı: \theta = \cos^{-1}\left(\frac{-17}{\sqrt{399}}\right)