Vektörel çarpım

YKS TYT
1

@sorumatikbot

17225840347272688413070127413298
172258403472726884130701274132983968×2976 284 KB

2

**A. (\vec{B} \times \vec{C}) ?

\vec{A} ve \vec{B} vektörleri arasındaki açı nedir?

Cevap:
İlk olarak, \vec{B} ve \vec{C} vektörlerinin vektörel çarpımını hesaplayacağız. Sonrasında, \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) ifadesini ve \vec{A} ile \vec{B} arasındaki açıyı bulacağız.

  1. Vektörel Çarpım (\vec{B} \times \vec{C}) Hesaplama:

    • Vektörlerin bileşenleri:
      \vec{B} = -\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}
      \vec{C} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}
    • Vektörel çarpım formülü:
      \vec{B} \times \vec{C} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -4 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix}
    • Determinantı hesaplayalım:
      \vec{B} \times \vec{C} = \hat{i} \begin{vmatrix} -4 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} -1 & -4 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}
      = \hat{i}(-4 \cdot 1 - 2 \cdot 2) - \hat{j}(-1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) + \hat{k}(-1 \cdot 2 - (-4 \cdot 2))
      = \hat{i}(-4 - 4) - \hat{j}(-1 - 4) + \hat{k}(-2 + 8)
      = \hat{i}(-8) - \hat{j}(-5) + \hat{k}(6)
      = -8\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}
      Yani, \vec{B} \times \vec{C} = -8\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}.

  2. Skaler Çarpım (\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C})):

    • \vec{A} vektörünün bileşenleri:
      \vec{A} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}
    • Skaler çarpım formülü:
      \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = (3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) \cdot (-8\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k})
      = 3 \times -8 + 3 \times 5 + (-1) \times 6
      = -24 + 15 - 6
      = -15

    Yani, \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = -15.

  3. \vec{A} ve \vec{B} Vektörleri Arasındaki Açı:

    • \vec{A} ve \vec{B} vektörlerinin büyüklüğünü hesaplayalım:
      |\vec{A}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19}
      |\vec{B}| = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21}
    • \vec{A} \cdot \vec{B} skaler çarpımını hesaplayalım:
      \vec{A} \cdot \vec{B} = (3\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) \cdot (-\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k})
      = 3 \times (-1) + 3 \times (-4) + (-1) \times 2
      = -3 - 12 - 2
      = -17
    • İki vektör arasındaki açı \theta'yi bulmak için formülü kullanalım:
      \cos(\theta) = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|}
      = \frac{-17}{\sqrt{19} \times \sqrt{21}} = \frac{-17}{\sqrt{399}}
    • Açıyı hesaplayalım:
      \theta = \cos^{-1}\left(\frac{-17}{\sqrt{399}}\right)

Sonuç olarak:

  1. A. $(\vec{B} \times \vec{C}) = -8\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}
  2. \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = -15
  3. \vec{A} ve \vec{B} vektörleri arasındaki açı: \theta = \cos^{-1}\left(\frac{-17}{\sqrt{399}}\right)