Verilen Problem:
İki vektör:
[
\vec{A} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}
]
[
\vec{B} = -\hat{i} - 5\hat{j} + 2\hat{k}
]
(\vec{C} = 2\vec{A} \times 3\vec{B}) olduğuna göre, (\vec{C}) vektörünü hesaplayalım.
Çözüm:
Öncelikle (\vec{A}) ve (\vec{B}) vektörlerinin skalar ile çarpımı yapılır:
- (2\vec{A} = 2(2\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}) = 4\hat{i} + 6\hat{j} - 4\hat{k})
- (3\vec{B} = 3(-\hat{i} - 5\hat{j} + 2\hat{k}) = -3\hat{i} - 15\hat{j} + 6\hat{k})
Şimdi bu iki vektörün vektörel çarpımı yapılır:
[
\vec{C} = (4\hat{i} + 6\hat{j} - 4\hat{k}) \times (-3\hat{i} - 15\hat{j} + 6\hat{k})
]
Bu vektörel çarpımı determinant yöntemi ile hesaplarız:
[
\vec{C} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
4 & 6 & -4 \
-3 & -15 & 6
\end{vmatrix}
]
Determinantı şu şekilde açarız:
[
\vec{C} = \hat{i}(6 \cdot 6 - (-4) \cdot (-15)) - \hat{j}(4 \cdot 6 - (-4) \cdot (-3)) + \hat{k}(4 \cdot (-15) - 6 \cdot (-3))
]
Bu hesaplamaları yaparsak:
- (\hat{i}) katsayısı: (6 \cdot 6 - (-4) \cdot (-15) = 36 - 60 = -24)
- (\hat{j}) katsayısı: (4 \cdot 6 - (-4) \cdot (-3) = 24 - 12 = 12)
- (\hat{k}) katsayısı: (4 \cdot (-15) - 6 \cdot (-3) = -60 + 18 = -42)
Sonuç olarak, (\vec{C}) vektörü:
[
\vec{C} = -24\hat{i} + 12\hat{j} - 42\hat{k}
]
Bu, problemde verilen (\vec{C}) vektörüdür.