Verilen Tabloya Dayalı Sorunun Çözümü
Soru: Aşağıdaki tablodaki üç farklı yaş grubundaki kişilerin yaşlarını gösteren tablo verilmiştir. Bu gruptan yaşlarının ortalaması 20 olacak şekilde x kişi seçiliyor. Buna göre, x en çok kaçtır?
Tablodaki Yaş ve Kişi Sayıları
- Yaş 18: 16 kişi
- Yaş 20: 10 kişi
- Yaş 24: 12 kişi
Adım Adım Çözüm
Önce, seçilen kişilerin yaş ortalamasının 20 olacağını biliyoruz. Bu durumda, seçilen kişilerin toplam yaşları ve kişi sayısına oranının 20 olması gerekiyor.
-
Yaş Gruplarının Kendi Toplamları:
- 18 yaş: Toplam yaş = 18 \times 16 = 288
- 20 yaş: Toplam yaş = 20 \times 10 = 200
- 24 yaş: Toplam yaş = 24 \times 12 = 288
-
Seçilen Kişilerin Yaşlarının Ortalama Hesaplaması:
- Toplam yaş değeri: 288 + 200 + 288 = 776 yaş
- Toplam kişi sayısı: 16 + 10 + 12 = 38 kişi
-
Ortalamanın 20 olması için, toplam yaş ve toplam kişi sayısının kontrolü yapılmalıdır:
[
\frac{\text{Toplam Yaş}}{\text{Toplam Kişi Sayısı}} = 20
]
Çözüm:
- Tüm gruptan seçilenler için ortalamayı tutturabilecek maksimum kişi sayısını bulmak istiyoruz.
-
Olası Durumlar:
- 18 yaş grubu en az sayıda seçilmeli çünkü ortalamayı düşürüyor. [Yaş = 18]
- x kişiyi en fazla oturtabilmek için ortalama yaşa en yakın olan 20 yaş seçilmeli.
-
Hangi Yaş Gruplarından Kaç Kişi Seçilmeli?
Ortalamanın 20 olması için, ağırlık en fazla 20 yaş ve gerektiğinde 24 yaş grubu yöneltilmelidir.
Max:
- Ortalama yakalamak için:
20a + 24b = 20(a+b)
- Basitleştirip taşınacak yaş grubu:
24b = 20b + 20a \Rightarrow 4b = 20a
\frac{b}{a} = \frac{5}{1} \Rightarrow b = 5k \,\, \text{ve} \,\, a = k
Maksimum alabilecekleri:
- a = 10, b = 12 ile beraber oran tutar:
[
k = 2 , \Rightarrow a = 2, , b = 10
]
Bu durumda x:
- 10 \times 20 yaşından olan grup,
- Kalan yaşlar için tekrar hesap yapılır ve kontrol edilir.
Sonuç olarak x en çok: \boxed{34} kişi olabilir. Bu çözüme göre cevap şıkkı D’dir.