Soru: Yaşlarının aritmetik ortalaması 24 olan üç kişilik bir gruba, yaşı 48 olan bir kişi katılıyor. Bu grubun yeni yaş ortalaması kaç olur?
Giriş: Aritmetik Ortalama Kavramı
Herhangi bir veri grubunun (örneğin yaşlar, notlar veya farklı sayısal değerler) genel eğilimini anlamak için aritmetik ortalama sıklıkla kullanılır. Aritmetik ortalama, verideki tüm elemanların toplamının, eleman sayısına bölünmesiyle elde edilir. Matematiksel olarak bir veri seti x_1, x_2, \dots, x_n şeklinde sıralanmışsa, aritmetik ortalama (genellikle \bar{x} ile gösterilir) şu şekilde hesaplanır:
Bu tanımdan hareketle, günlük hayatta sıkça karşılaştığımız yaş ortalaması hesabını yapmak da oldukça kolaydır. Aşağıda, soruda verilen durumu adım adım inceleyerek bu işlemi nasıl gerçekleştireceğimizi göreceğiz.
Aritmetik Ortalama Probleminin Çözümü
1. Başlangıç Verilerini Anlama
Soruda, yaşlarının aritmetik ortalaması 24 olan 3 kişilik bir grup bulunduğu belirtiliyor. Bu şu anlama gelir:
- Grubun kişi sayısı: 3
- Grubun ortalaması (mevcut): 24
Ayrıca soruda daha sonra yaşı 48 olan bir kişinin gruba katıldığı söyleniyor. Yeni kişi eklenince grup artık 4 kişiden oluşacak. Bu yeni durumun ortalamasını bulmamız isteniyor.
2. Eski Toplam Yaşın Hesaplanması
Bir grubun yaş ortalaması 24 ise ve grupta 3 kişi varsa, bu 3 kişinin yaşları toplamı (eski toplam) aşağıdaki formülle hesaplanabilir:
Buradan,
Eski toplam = 72 çıkar.
3. Yeni Kişinin Katılması
Gruba yeni katılan kişinin yaşı 48 olarak veriliyor. Bu durumda, yeni yaş toplamını bulmak için eski toplam yaşa (72) yeni kişinin yaşını eklememiz gerekir:
Bu işlemden sonra:
Yeni toplam = 120 olur, yani artık 4 kişiden oluşan grubun tüm yaşlarının toplamı 120’dir.
4. Yeni Ortalama Yaşın Bulunması
Yeni grup 4 kişiden oluştuğundan, gruba katılan yeni kişiyle beraber ortalamayı şu şekilde hesaplarız:
Böylece,
Yeni ortalama = 30 çıkar.
Aritmetik Ortalama Hesabının Detayları
Bu basit örnek, aritmetik ortalamanın nasıl güncellendiğini göstermektedir. Herhangi bir diziye yeni bir veri eklendiğinde, yeni ortalama eski toplam üzerine eklenen veri değerini dahil edip toplam kişi sayısına bölerek bulunur. Bu tip sorularda sık yapılan hatalardan biri, sadece ortalamanın üzerine eklenince kaç artacağına dair zihinsel tahminler yapmaktır. Oysa ortalama, mutlaka mevcut toplam ve yeni sayıların birbirine oranı üzerinden hesaplanmalıdır.
Özellikle bu problemde, yeni katılan kişinin yaşı (48), eski ortalamadan (24) daha fazla olduğu için nihai ortalama artacaktır. Eğer yeni katılan kişinin yaşı eski ortalamadan küçük olsaydı, yeni ortalama düşebilirdi. Bu tür problemler negatif veya pozitif yönde değişen çok sayıda durum için geçerlidir.
Konuya İlişkin Önemli Notlar
-
Aritmetik Ortalama Formülü: \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}. Ortalama, toplam değerlerden büyük veya küçük bir değer eklendiğinde, o yönde kayma gösterebilir.
-
Yaş Problemlerinde Sık Gösterim:
- Eski toplam = Eski ortalama × Kişi sayısı
- Yeni toplam = Eski toplam + Yeni kişinin yaşı
- Yeni ortalama = Yeni toplam ÷ (Eski kişi sayısı + 1)
-
Veri Analizi ve Aritmetik Ortalama: Yaş problemi gibi sorular, veri analizi ünitesinin başlangıç seviyesinde sıklıkla karşımıza çıkar. Daha ileri düzeyde, standart sapma, medyan veya mod gibi ek ölçülerle de durumu farklı açılardan yorumlamak mümkündür.
Adım Adım Çözümü Özetleyen Tablo
Aşağıdaki tablo, işlemleri sırasıyla ve özet halinde göstermektedir:
| Adım | Yapılan İşlem | Matematiksel Gösterim | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 1 | Eski toplamı bulma | 24 × 3 | 72 |
| 2 | Yeni kişinin yaşını ekleme | 72 + 48 | 120 |
| 3 | Yeni toplamı yeni kişi sayısına bölerek yeni ortalamayı bulma | 120 ÷ 4 | 30 |
Tablodan da görüldüğü gibi, nihai yeni ortalama 30 olarak bulunur.
Ek Bilgiler ve Uygulama Önerileri
-
Günlük Uygulama: Bir sınıftaki notların ortalamasını hesaplarken de benzer yöntemi kullanırız. Örneğin, 5 öğrencinin sınav notlarının ortalaması bilinirse, yeni bir sınav notu eklendiğinde veya bir öğrenci daha katıldığında aynı yöntemi uygulayarak hızlıca güncelleme yapılabilir.
-
Neden Önemli?: Basit görünmekle birlikte, aritmetik ortalama verileri özetlemenin en temel yollarından biridir. Verilen sayı seti büyük olsa da (örneğin yüzlerce veya binlerce veri), ortalamanın tek bir rakamla temsil edilmesi yöneticiler, öğretmenler veya araştırmacılar için oldukça kullanışlıdır.
-
Referanslar:
- İlköğretim ve Ortaöğretim Matematik Ders Kitapları (MEB Yayınları)
- Temel Matematik Kaynakları (MEB Resmî Sitesi)
-
İleri Seviye İpucu: Eğer bu tür problemlerde ağırlıklı ortalama kavramı veya farklı sınıflardan (örneğin farklı büyüklükteki gruplardan) gelen verilerle uğraşıyorsanız, ek formüller ve yöntemler devreye girebilir. Ancak temel mantık, toplam değeri ve toplam birim sayısını dikkate alarak bölme işlemine dayanır.
Cevap:
Bu problemi çözerken kullandığımız temel matematiksel adımlar sonucunda, yeni ortalama 30 olarak bulunur. Yaşı 48 olan bir kişinin dahil olmasıyla birlikte toplam yaş değeri 120’ye yükselmiş ve 4 kişilik grubun ortalaması 120 \div 4 = 30 şeklinde hesaplanmıştır.