Turev sorusu nu coz

YKS TYT
1

20250310_175825
20250310_175825720×960 22.9 KB

2

I’ve tried working out a response for you several times, but ultimately failed. Please contact the admin if this persists, thank you!

3

@sorumatikbot

4

Soruların Çözümleri

Aşağıdaki çözümde adım adım türev işlemleri yapılacak ve istenilen değerler hesaplanacaktır.

5. Soru:

Fonksiyonlar ( f(x) = ax^2 ) ve ( g(x) = \frac{a}{\sqrt{x}} ) olarak verilmiş. Ayrıca ((f - g)'(1) = 5) olduğuna göre (a) değerini bulunuz.

Çözüm:

Öncelikle türevleri hesaplayalım.

  1. ( f(x) = ax^2 ) olduğundan, türevi:
    [
    f’(x) = 2ax
    ]

  2. ( g(x) = \frac{a}{\sqrt{x}} ) olduğundan türevi:
    [
    g’(x) = -\frac{a}{2x^{3/2}}
    ]

  3. ((f - g)(x) = f(x) - g(x)) olduğundan türevi:
    [
    (f - g)‘(x) = f’(x) - g’(x)
    ]
    Burada ( (f - g)‘(x) ) türevini yerine koyarsak:
    [
    (f - g)’(x) = 2ax - \left(-\frac{a}{2x^{3/2}}\right)
    ]
    [
    (f - g)'(x) = 2ax + \frac{a}{2x^{3/2}}
    ]

  4. Şimdi ( x = 1 ) için türev değerini bulalım:
    [
    (f - g)‘(1) = 2a(1) + \frac{a}{2(1)^{3/2}}
    ]
    [
    (f - g)’(1) = 2a + \frac{a}{2}
    ]
    [
    (f - g)‘(1) = \frac{4a + a}{2}
    ]
    [
    (f - g)’(1) = \frac{5a}{2}
    ]

Soruda ((f - g)'(1) = 5) olduğu verilenmiş. O halde:
[
\frac{5a}{2} = 5
]
Buradan:
[
5a = 10 \quad \Rightarrow \quad a = 2
]

Cevap: ( a = 2 )

6. Soru:

( f(x) = (3 - x^3)(2x^2 + x - 1) ) fonksiyonunun türevini bulunuz.

Çözüm:

Bu ifade çarpım şeklinde verilmiş olduğu için çarpımın türevini uygulamalıyız. Çarpımın türevi kuralı:
[
(f \cdot g)’ = f’ \cdot g + f \cdot g’
]

  1. ( f_1(x) = (3 - x^3) ), türevi:
    [
    f_1’(x) = -3x^2
    ]

  2. ( f_2(x) = (2x^2 + x - 1) ), türevi:
    [
    f_2’(x) = 4x + 1
    ]

  3. Çarpımın türevi:
    [
    f’(x) = f_1’(x) \cdot f_2(x) + f_1(x) \cdot f_2’(x)
    ]
    Yerlerine koyarsak:
    [
    f’(x) = (-3x^2)(2x^2 + x - 1) + (3 - x^3)(4x + 1)
    ]
    Karakteristik düzenlemeler yapalım:

İlk terim:
[
(-3x^2)(2x^2 + x - 1) = -6x^4 - 3x^3 + 3x^2
]

İkinci terim:
[
(3 - x^3)(4x + 1) = (3)(4x + 1) + (-x^3)(4x + 1)
]
[
= 12x + 3 - 4x^4 - x^3
]

Tüm terimleri birleştirelim:
[
f’(x) = -6x^4 - 3x^3 + 3x^2 + 12x + 3 - 4x^4 - x^3
]
[
f’(x) = -10x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 12x + 3
]

Cevap: ( f’(x) = -10x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 12x + 3 )

7. Soru:

( f(x) = (\sqrt{x} + 3)(x\sqrt{x} - x + 1) ) olduğuna göre ( f’(4) ) değerini bulunuz.

Çözüm:

Bu ifade yine çarpım şeklinde verilmiş. Çarpımın türev kuralını uyguluyoruz.

  1. ( f_1(x) = (\sqrt{x} + 3) ), türevi:
    [
    f_1’(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}
    ]

  2. ( f_2(x) = (x\sqrt{x} - x + 1) ), türevi:
    Öncelikle (x\sqrt{x}) olan terimi düzenleyelim:
    [
    f_2(x) = x \cdot x^{1/2} = x^{3/2}
    ]
    Bu durumda türev ( f_2’(x) ) şu şekilde olur:
    [
    f_2’(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} - 1
    ]

  3. Çarpımın türevi:
    [
    f’(x) = f_1’(x) \cdot f_2(x) + f_1(x) \cdot f_2’(x)
    ]
    Yerlerine koyarsak:
    [
    f’(x) = \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)(x\sqrt{x} - x + 1) + (\sqrt{x} + 3)\left(\frac{3}{2}x^{1/2} - 1\right)
    ]

Şimdi (x = 4) için (f’(4)) değerini bulalım:

Adım adım hesap:

  1. ( f_1’(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4} )
  2. ( f_2(4) = (4\sqrt{4} - 4 + 1) = (4 \cdot 2 - 4 + 1) = 8 - 4 + 1 = 5 )
  3. ( f_1(4) = (\sqrt{4} + 3) = (2 + 3) = 5 )
  4. ( f_2’(4) = \frac{3}{2} \cdot 4^{1/2} - 1 = \frac{3}{2} \cdot 2 - 1 = 3 - 1 = 2 )

Tüm değerleri yerleştirelim:
[
f’(4) = \left(\frac{1}{4}\right)(5) + (5)(2)
]
[
f’(4) = \frac{5}{4} + 10
]
[
f’(4) = \frac{5}{4} + \frac{40}{4} = \frac{45}{4}
]

Cevap: ( f’(4) = \frac{45}{4} )

Özet Tablo:

Soru Sonuç
5. Soru ( a = 2 )
6. Soru ( f’(x) = -10x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 12x + 3 )
7. Soru ( f’(4) = \frac{45}{4} )

Sorularınız varsa tekrar sorabilirsiniz! :blush: @Teslime