Teşekürler

YKS TYT
1

17411915951393388668875098496447
17411915951393388668875098496447720×960 23.3 KB

2

Sorular ve Çözümleri

5. Soru:

( f(x) = ax^2 ) ve ( g(x) = \frac{a}{\sqrt{x}} ) fonksiyonları için ( (f - g)'(1) = 5 ) olduğuna göre ( a ) değerini bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: (f - g)'(x) Fonksiyonunun türevini alın.

f(x) = ax^2 \quad \text{ve} \quad g(x) = \frac{a}{\sqrt{x}}

Fonksiyonların türevlerini hesaplayalım:

  1. ( f’(x) )'i bulalım:
f'(x) = \frac{d}{dx} [ax^2] = 2ax
  1. ( g’(x) )'i bulalım:
g(x) = a x^{-\frac{1}{2}} \implies g'(x) = \frac{d}{dx}[ax^{-\frac{1}{2}}] = -\frac{a}{2} x^{-\frac{3}{2}}

Sonuç:

f'(x) = 2ax \quad \text{ve} \quad g'(x) = -\frac{a}{2x^{\frac{3}{2}}}

Adım 2: ( (f - g)'(x) )'yi buluyoruz.
Türevlerde fark alırsak:

(f - g)'(x) = f'(x) - g'(x)

Yerine yazalım:

(f - g)'(x) = 2ax - \left(-\frac{a}{2x^{\frac{3}{2}}}\right)
(f - g)'(x) = 2ax + \frac{a}{2x^{\frac{3}{2}}}

Adım 3: ( (f - g)'(1) = 5 ) koşulunu kullanın.
Fonksiyonu ( x = 1 ) için değerlendirelim:

(f - g)'(1) = 2a(1) + \frac{a}{2(1)^{\frac{3}{2}}} = 2a + \frac{a}{2}

Buradan toplama yapılır:

2a + \frac{a}{2} = \frac{4a}{2} + \frac{a}{2} = \frac{5a}{2}

Koşula göre:

\frac{5a}{2} = 5

Adım 4: ( a )'yı bulun.

\frac{5a}{2} = 5 \implies 5a = 10 \implies a = 2

Cevap: ( a = 2 )

6. Soru:

( f(x) = (3 - x^3)(2x^2 + x - 1) ) fonksiyonunun türevini bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: Ürün kuralını kullanacağız.

Genel formül:
$$(u(x)v(x))’ = u’(x)v(x) + u(x)v’(x)$$
Burada:

  • ( u(x) = (3 - x^3) )
  • ( v(x) = (2x^2 + x - 1) )

Adım 2: ( u’(x) )'yi bulun.

u(x) = 3 - x^3 \implies u'(x) = -3x^2

Adım 3: ( v’(x) )'yi bulun.

v(x) = 2x^2 + x - 1 \implies v'(x) = 4x + 1

Adım 4: Ürün kuralını uygulayın.

f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

Yerine koyarak:

f'(x) = (-3x^2)(2x^2 + x - 1) + (3 - x^3)(4x + 1)

Adım 5: Parantezleri açarak sonuç bulun.

  1. İlk çarpımı açalım:
(-3x^2)(2x^2) + (-3x^2)(x) + (-3x^2)(-1) = -6x^4 - 3x^3 + 3x^2
  1. İkinci çarpımı açalım:
(3)(4x) + (3)(1) + (-x^3)(4x) + (-x^3)(1) = 12x + 3 - 4x^4 - x^3

Sonuçları birleştirelim:

f'(x) = (-6x^4 - 3x^3 + 3x^2) + (12x + 3 - 4x^4 - x^3)

Benzer terimleri toplayalım:

  • ( x^4 ) terimleri: ( -6x^4 - 4x^4 = -10x^4 )
  • ( x^3 ) terimleri: ( -3x^3 - x^3 = -4x^3 )
  • ( x^2 ) terimleri: ( 3x^2 )
  • ( x ) terimleri: ( 12x )
  • Sabit: ( 3 )

Sonuç:

f'(x) = -10x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 12x + 3

7. Soru:

( f(x) = (\sqrt{x} + 3)(x\sqrt{x} - x + 1) ) olduğuna göre ( f’(4) )'ü bulunuz.

Çözüm:

Adım 1: Ürün kuralını kullanın.
$$(u(x)v(x))’ = u’(x)v(x) + u(x)v’(x)$$
Burada:

  • ( u(x) = (\sqrt{x} + 3) )
  • ( v(x) = (x\sqrt{x} - x + 1) )

Adım 2: ( u’(x) )'yi bulun.

u(x) = \sqrt{x} + 3 \implies u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Adım 3: ( v’(x) )'yi bulun.

v(x) = x^{\frac{3}{2}} - x + 1

Terim terim türev alalım:

  • ( x^{\frac{3}{2}} )'nin türevi: ( \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} )
  • ( -x )'in türevi: ( -1 )
  • ( 1 )'in türevi: ( 0 )

Sonuç:

v'(x) = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 1

Adım 4: Ürün kuralını uygulayın.

f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

Yerine koyarak:

f'(x) = \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)(x\sqrt{x} - x + 1) + (\sqrt{x} + 3)\left(\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 1\right)

Adım 5: ( x = 4 ) için hesaplayın.
Önce her terimi ( x = 4 ) yerine koyarak hesaplayalım:

  1. ( u’(x) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4} )
  2. ( u(x) = \sqrt{4} + 3 = 2 + 3 = 5 )
  3. ( v(x) = 4\sqrt{4} - 4 + 1 = 8 - 4 + 1 = 5 )
  4. ( v’(x) = \frac{3}{2}(4^{\frac{1}{2}}) - 1 = \frac{3}{2}(2) - 1 = 3 - 1 = 2 )

Yerine koyarak:

f'(4) = \left(\frac{1}{4}\right)(5) + (5)(2)
f'(4) = \frac{5}{4} + 10
f'(4) = \frac{5}{4} + \frac{40}{4} = \frac{45}{4}

Cevap: ( f’(4) = \frac{45}{4} )

Özet Tablosu:

Soru No Çözüm Sonuç
5 ( a = 2 ) ( a = 2 )
6 (-10x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 12x + 3) —
7 ( f’(4) = \frac{45}{4} ) ( f’(4) = \frac{45}{4} )

Eğer başka sorularınız varsa çekinmeden sorun! :blush: @Arda_Kucuksert