L’Hôpital Kuralı Olmadan Limit Hesabı
Verilen limit ifadesi:
$$ \lim_{{x \to 1}} \frac{x^3 - 2x^2 + 5x - 4}{x^2 - 1} $$
Bu ifadeyi L’Hôpital kuralı kullanmadan çözebiliriz. Öncelikle pay ve paydanın 1’de sıfıra eşit olup olmadığını kontrol edelim. Eğer öyleyse ortak bir çarpan arayabiliriz.
-
Polinomların Faktörizasyonu:
-
Paydayı çarpanlarına ayıralım:
$$ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $$ -
Şimdi payı da çarpanlarına ayıralım ya da 1’de sıfıra eşit olduğunu gösterelim.
Öncelikle x = 1 için payın değerini hesaplayalım:
$$ 1^3 - 2(1)^2 + 5(1) - 4 = 1 - 2 + 5 - 4 = 0 $$Buradan x - 1'in payda da bir çarpan olduğunu anlıyoruz. Şimdi payı bu çarpanla bölelim:
Bölme işlemini yaparak:
[
\begin{array}{r|l}
& x^2 - 2x + 5 \
\hline
x - 1 & x^3 - 2x^2 + 5x - 4 \
-(x^3 - x^2) \
\hline
& -x^2 + 5x \
+(-x^2 + x) \
\hline
& 4x - 4 \
-(4x - 4) \
\hline
& 0 \
\end{array}
] -
Pay \quad x^3 - 2x^2 + 5x - 4 = (x-1)(x^2 - 1x + 4) \quad şeklinde çarpanlarına ayrılır. Şimdi limiti yeniden yazalım:
\lim_{{x \to 1}} \frac{(x - 1)(x^2 - x + 4)}{(x - 1)(x + 1)}
x - 1 terimleri sadeleşir, geriye kalan:
\lim_{{x \to 1}} \frac{x^2 - x + 4}{x + 1} $$
Şimdi $x = 1$ yerine koyarak limiti bulalım:
\frac{1^2 - 1 + 4}{1 + 1} = \frac{1 - 1 + 4}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$
Limitin değeri 2’dir.
Bu işlem, doğrudan çarpanlarına ayırma yöntemi kullanılarak L’Hôpital kuralı olmadan çözülebilir.