Problem Çözümü:
Soruya göre, kısa merdivenin boyu 180 cm olarak verilmiş. Boylarının oranı ise \frac{3}{2}. Uzun merdivenin boyunu bulmak için orantıdan yararlanacağız.
H3: Orantının Kullanımı
Uzun merdivenin boyu ( x ) olarak varsayılır. Orantıyı şu şekilde kurarız:
Burada kısa merdivenin boyu 180 cm olduğundan oran şu şekilde yazılır:
H3: İşlem Adımları
- Orantıyı Çözmek İçin Çarpma:
Orantıyı çözmek için 180 ile 3/2 çarpılır:
- Çarpma İşlemi:
Önce 180’i 3 ile çarparız:
Sonra bu sonucu 2’ye böleriz:
H3: Sonuç
Uzun merdivenin boyu 270 cm olarak bulunur.
Cevap: Uzun merdiven 270 cm @username
4. Boylarının arası 3/2 olan iki merdivenden kısası 180 cm’dir. Buna göre, uzun merdivenin boyu kaç santimetredir? İşlemlerinizi göstererek bulunuz.
Cevap:
-
Oranı 3/2 olarak verilen iki merdivende, uzun merdivenin boyunu (U) ve kısa merdivenin boyunu (K) şöyle ifade edebiliriz:
U / K = 3/2 -
Kısa merdiven 180 cm olduğu için K = 180 cm. Oran denklemine göre:
U / 180 = 3/2 -
İçler dışlar çarpımı yaparak U’yu bulalım:
U = 180 × (3/2) = 180 × 1.5 = 270 -
Dolayısıyla, uzun merdivenin boyu 270 cm’dir.
@username
Boylarının oranı 3/4 olan iki merdivenden kısa olanın boyu 180 cm’dir. Buna göre, uzun merdivenin boyu kaç santimetredir? (İşlemlerinizi göstererek bulunuz - 15 puan)
Cevap:
Birbirine oranı 3/4 olan iki merdivenin “kısa” olanının uzunluğu 180 cm olarak verilmektedir. Burada “oran” kavramı, iki büyüklüğün birbirine bölümünü ifade eder. Eğer kısa merdivenin boyu (K) ile uzun merdivenin boyu (U) arasındaki oran,
şeklindeyse, bu demektir ki kısa olan merdiven 3 birime, uzun olan ise 4 birime denk gelecek şekilde ölçülendirilmiştir. Kısa olanın 3 “parça”sı 180 cm olduğuna göre, her bir “parça”nın uzunluğu 180 \div 3 = 60 cm’dir. Dolayısıyla uzun merdiven 4 “parça”dan oluştuğundan 4 \times 60 = 240 cm olarak bulunur. Aşağıda bu işlemlerin ayrıntılı açıklamasını, ilgili matematik kavramlarını ve bir tabloyu görebilirsiniz.
Oran (Rasyon) ve Orantı Nedir?
- Oran (Ratio): İki değişkenin birbirine bölünmesiyle elde edilen, genellikle kesir ya da iki nokta üst üste “:” şekliyle ifade edilen büyüklüktür (örneğin 3:4 veya 3/4).
- Orantı (Proportion): İki oranı eşitleyerek kurduğumuz ifadeye denir. Örneğin \frac{3}{4} = \frac{x}{y} ifadesinde 3/4 ve x/y birbirine eşit oranlar olarak kabul edilir.
Bu problemdeki “kısa merdivenin boyu : uzun merdivenin boyu” biçiminde tanımlanan oran, 3:4 ya da 3/4’tür. “Kısa” merdivenini 3 parça olarak, “uzun” merdiveni ise 4 parça olarak düşünebiliriz.
Adım Adım Çözüm
-
Adım – Verilen Oranı Yorumlama
Problemde boyların oranının 3/4 olduğu söyleniyor. Bu, kısa merdiven boyu (K) ile uzun merdiven boyu (U) arasındaki ilişkinin:\frac{K}{U} = \frac{3}{4}olduğunu gösterir.
-
Adım – Kısa Merdiven Bilgisi
Kısa olan merdivenin uzunluğu 180 cm’dir. Yani K = 180 cm. Yukarıdaki eşitliği, K = 180 değerini kullanarak yeniden yazabiliriz:\frac{180}{U} = \frac{3}{4} -
Adım – Oranı Denkleme Dönüştürme
Oran denkleminden uzun merdivenin boyu (U) bulunabilir. Aşağıdaki gibi bir içler dışlar çarpımı ya da orantı kuralı uygulanır:180 \times 4 = 3 \times UHer iki tarafı da 3’e bölerek U’yu buluruz:
U = \frac{180 \times 4}{3} = \frac{720}{3} = 240 -
Adım – Bir “Parça” Vurgusu ile Açıklayarak Çözme
Oranı 3/4 şeklinde eş parçalara bölerek de düşünebiliriz. Kısa merdiven 3 parçaya denk geliyorsa, her bir parça \frac{180}{3} = 60 cm olur. Uzun merdiven, 4 parçadan oluştuğu için boyu 4 \times 60 = 240 cm’dir. -
Adım – Sonucu Doğrulama
Bulduğumuz uzun merdiven boyu 240 cm. Oranı kontrol için:\frac{180}{240} = \frac{3}{4}oranı doğru şekilde sağlamaktadır.
Oran ve Orantının Gündelik Hayattaki Önemi
Oran ve orantı, sadece bu tür problemleri çözmek için değil, aynı zamanda:
- Mutfakta tarifler (örneğin 2 bardak suya 1 bardak pirinç),
- Haritalar ve ölçekler (gerçek mesafe ile haritadaki mesafe arasında bir oran),
- İndirim hesaplamaları (fiyat indirimi oranı veya faiz oranı),
- Mimarlık ve inşaat projeleri (çizim ve gerçek boyut arasındaki ölçek ilişkisi)
gibi pek çok alanda kullanılır. 3/4’lük oran, “kısa” ile “uzun” arasındaki bir karşılaştırmayı kolayca ifade ederken bizlere tek bir eşitlikle aradaki ilişkiyi hızlıca bulma imkânı sağlar.
Konu ile İlgili Kavramlar ve Örnekler
-
Katsayı ve Birim Dönüşümü
Burada, oranda yer alan 3 ve 4 aslında kısa ve uzun merdivenler arasındaki “katsayı” veya “ölçü” farkını belirtir. Her 3 birime karşı 4 birim gelir. -
Bilinmeyen Değeri Bulma (Uzunluk Tespiti)
Eğer kısa merdiven 180 cm yerine başka bir değer olsaydı, benzer şekilde orantı yoluyla uzun merdiveni hesaplayabilirdiniz. -
Ters Orantı ve Doğru Orantı
Bu sorudaki kavram “doğru orantı”dır. Kısa merdiven uzadıkça uzun merdiven de aynı oranda büyür.
Hesaplamayı Özetleyen Tablo
Aşağıdaki tabloda adım adım çözümün özetini görebilirsiniz:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Verilen Oranı Tanımlama | K:U = 3:4 (3/4) | K/U = 3/4 |
| 2. Kısa Merdivenin Boyunu Yerleştirme | K = 180 cm | K = 180 cm |
| 3. Denklem Kurma | 180 / U = 3 / 4 | İçler dışlar çarpımı yapılır |
| 4. İçler Dışlar Çarpımı | 180 × 4 = 3 × U | 720 = 3U |
| 5. Uzun Merdiveni Bulma | U = 720 / 3 | U = 240 cm |
| 6. Kontrol ve Doğrulama | 180/240 = 3/4 oranını sağlar | Sonuç doğru |
Sonuç ve Kısa Özet
- Kısa merdivenin boyu: 180 cm
- Oran: 3/4
- Uzun merdivenin boyu: 240 cm
Bu sonuca, orantı kurarak ulaşabiliriz. Uzun merdiven boyu 240 cm olarak hesaplanır. Kurduğumuz denklemde veya parça bazlı düşünmede, oranların korunması esastır. Her 3 birimlik kısa merdivene karşılık 4 birimlik uzun merdiven bulunur. 3 birim 180 cm olduğuna göre 1 birim 60 cm’ye, 4 birim ise 240 cm’ye karşılık gelir. Bu sayede sorunun cevabı 240 cm olarak karşımıza çıkar.