Görüntüdeki problem bir trigonometri problemi. Problemin detaylarına bakalım.
Verilen İfade:
Burada yapmamız gereken, her bir parçayı ayrı ayrı ele almak ve trigonometri özdeşliklerini kullanarak sadeleştirme yapmaktır.
Adım Adım Çözüm:
-
Trigonometri Özdeşliklerini Hatırlayın:
- \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
- \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}
- \sec x = \frac{1}{\cos x}
- \csc x = \frac{1}{\sin x}
- \tan^2 x + 1 = \sec^2 x
- \cot^2 x + 1 = \csc^2 x
-
Sadeleştirme İşlemleri:
İlk baştaki ifadeyi y = \tan^2 x olarak tanımlayabiliriz. Bu durumda \cot^2 x = \frac{1}{y} olacaktır.
- Üstteki ifade: y^3 + \left(\frac{1}{y}\right)^3 = y^3 + \frac{1}{y^3}
- Alttaki ifade: y^2 + \frac{1}{y^2} - 1
Burada, y^3 + \frac{1}{y^3} = (y + \frac{1}{y})(y^2 - y\cdot \frac{1}{y} + \frac{1}{y^2}) = (y + \frac{1}{y})(y^2 - 1 + \frac{1}{y^2}) olur.
-
Son İfade:
İkinci kısmı olan (2 - \sec^2 x \cdot \csc^2 x) ifadesini de yerine koyun.
- 2 - \sec^2 x \cdot \csc^2 x = 2 - \left(\frac{1}{\cos^2 x}\right)\left(\frac{1}{\sin^2 x}\right) = 2 - \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} = 2 - \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x}
Bunu ifade etmek yerine, sonuçta 2 - \sec^2 x \csc^2 x = 2 - (\tan^2 x + 1)(\cot^2 x + 1) olarak bulunabilir.
-
Sonuç:
İfadeleri belirli özelliklerle yerine koyup sadeleştirerek sonuca ulaşabiliriz.
Bu kapsamda uygun seçeneklerin detaylı incelenmesi gerekebilir. Her adımda hangi trigonometri özdeşliğinin ve cebirsel dönüşümün uygulanacağını dikkatli seçmek önemlidir.