Trigonometriu

Görüntüdeki problem bir trigonometri problemi. Problemin detaylarına bakalım.

Verilen İfade:

\frac{\tan^6 x + \cot^6 x}{\tan^4 x + \cot^4 x - 1} : (2 - \sec^2 x \cdot \csc^2 x)

Burada yapmamız gereken, her bir parçayı ayrı ayrı ele almak ve trigonometri özdeşliklerini kullanarak sadeleştirme yapmaktır.

Adım Adım Çözüm:

  1. Trigonometri Özdeşliklerini Hatırlayın:

    • \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
    • \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}
    • \sec x = \frac{1}{\cos x}
    • \csc x = \frac{1}{\sin x}
    • \tan^2 x + 1 = \sec^2 x
    • \cot^2 x + 1 = \csc^2 x
  2. Sadeleştirme İşlemleri:

    İlk baştaki ifadeyi y = \tan^2 x olarak tanımlayabiliriz. Bu durumda \cot^2 x = \frac{1}{y} olacaktır.

    • Üstteki ifade: y^3 + \left(\frac{1}{y}\right)^3 = y^3 + \frac{1}{y^3}
    • Alttaki ifade: y^2 + \frac{1}{y^2} - 1

    Burada, y^3 + \frac{1}{y^3} = (y + \frac{1}{y})(y^2 - y\cdot \frac{1}{y} + \frac{1}{y^2}) = (y + \frac{1}{y})(y^2 - 1 + \frac{1}{y^2}) olur.

  3. Son İfade:

    İkinci kısmı olan (2 - \sec^2 x \cdot \csc^2 x) ifadesini de yerine koyun.

    • 2 - \sec^2 x \cdot \csc^2 x = 2 - \left(\frac{1}{\cos^2 x}\right)\left(\frac{1}{\sin^2 x}\right) = 2 - \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} = 2 - \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x}

    Bunu ifade etmek yerine, sonuçta 2 - \sec^2 x \csc^2 x = 2 - (\tan^2 x + 1)(\cot^2 x + 1) olarak bulunabilir.

  4. Sonuç:

    İfadeleri belirli özelliklerle yerine koyup sadeleştirerek sonuca ulaşabiliriz.

Bu kapsamda uygun seçeneklerin detaylı incelenmesi gerekebilir. Her adımda hangi trigonometri özdeşliğinin ve cebirsel dönüşümün uygulanacağını dikkatli seçmek önemlidir.

1 Like