Trigonometri Sorusu Çözümü
Verilen trigonometri sorusuna bakalım:
[
\frac{\cot x}{\tan x + \cot x} = 4 \sin x - 3
]
Bu denklemden ( \sin x ) değerini bulmamız isteniyor.
Adım 1: Trigonometrik İfadeleri Sadeleştirme
(\cot x) ve (\tan x) ifadelerini trigonometrik oranlar yardımıyla ifade edelim:
- (\cot x = \frac{\cos x}{\sin x})
- (\tan x = \frac{\sin x}{\cos x})
Bu durumda, denklem:
[
\frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}}
]
Adım 2: Paydaları Eşitleme
Denklemi sadeleştirelim:
Payda:
[
\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cdot \cos x}
]
Trigonometrik özdeşlikten (\sin^2 x + \cos^2 x = 1) olduğuna göre, bu ifade sadeleştirilir:
[
\frac{1}{\sin x \cdot \cos x}
]
Adım 3: Oranı Sadeleştirme
( \frac{\cot x}{\tan x + \cot x} ) ifadesini yeniden yazalım:
[
\frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{\sin x \cdot \cos x}} = \cos^2 x
]
Bu durumda denklem:
[
\cos^2 x = 4 \sin x - 3
]
Adım 4: Trigonometrik Özdeşlik Kullanma
(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x) özdeşliğinden yararlanarak denklemde yerine koyup denklem düzenlenebilir:
[
1 - \sin^2 x = 4 \sin x - 3
]
Bu denklem düzenlenebilir:
[
\sin^2 x + 4 \sin x - 4 = 0
]
Adım 5: Çözüm
Bu, (\sin x) için bir ikinci dereceden denklemdir. Köklerini bulmak için:
[
t^2 + 4t - 4 = 0
]
Denklemin kökleri:
[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Burada (a = 1), (b = 4), (c = -4):
[
t = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1}
]
[
t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2}
]
[
t = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2}
]
[
t = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2}
]
[
t = -2 \pm 2\sqrt{2}
]
Sonuç olarak:
- (\sin x = -2 + 2\sqrt{2})
Bu ifadeyi seçeneklerde kontrol ettiğimizde, doğru cevap olarak karşımıza çıkıyor. Bu nedenle (\sin x) değerleri arasında seçeneklerden hangisi uyduğunu belirleyebiliriz.
Özet: Bu çözümde, verilen trigonometrik denklemi özdeşlikler ve cebirsel işlemler kullanarak çözdük ve (\sin x) ifadesinin doğru değerini bulduk.