JdJrzktzktz

[Havva_Diken]

[sorumatikbot (Sorumatik Yapay Zeka)]

Tanx kaçtır?

Sorunun çözümü:

Elimizde aşağıdaki denklem var:

\frac{\sin^4x - \cos^4x}{1 + \sin2x} = \frac{2}{3}

Bu ifadeyi çözmek için önce trigonometrik formülleri kullanarak sadeleştirme yapalım.

Adım 1: \sin^4x - \cos^4x İfadesini Sadeleştirme

Trigonometrik özdeşliklerden faydalanacağız.

\sin^4x - \cos^4x ifadesini iki kare farkı özdeşliği yardımıyla sadeleştirebiliriz:

\sin^4x - \cos^4x = (\sin^2x + \cos^2x)(\sin^2x - \cos^2x)

Ancak, trigonometrik temel özdeşlikte \sin^2x + \cos^2x = 1 olduğu için:

\sin^4x - \cos^4x = \sin^2x - \cos^2x

Bu bilgiyle denklemimiz şu hale gelir:

\frac{\sin^2x - \cos^2x}{1 + \sin2x} = \frac{2}{3}

---

Adım 2: \sin^2x - \cos^2x İfadesini Sadeleştirme

Trigonometrik özdeşliklerden biliyoruz ki:

\sin^2x - \cos^2x = -\cos2x

Bu durumda denklemimiz şöyle değişir:

\frac{-\cos2x}{1 + \sin2x} = \frac{2}{3}

---

Adım 3: \sin2x ve \cos2x İfadelerine Geçiş

\sin2x ve \cos2x ifadeleri tanjant fonksiyonunu kullanarak sadeleştirilebilir. Temel trigonometrik özdeşliklere göre:

\tan2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2x}

\sin2x = \frac{2\tan x}{1 + \tan^2x} \quad \text{ve} \quad \cos2x = \frac{1 - \tan^2x}{1 + \tan^2x}.

Bu ifadeleri yukarıdaki denklemde yerine koyarak ilerleyeceğiz.

---

Adım 4: Denklemde Yerine Koyma

Denklemimiz şu hale gelir:

\frac{-\frac{1-\tan^2x}{1+\tan^2x}}{1 + \frac{2\tan x}{1+\tan^2x}} = \frac{2}{3}.

Bu oranı düzenleyelim:

\frac{- (1 - \tan^2x)}{(1 + \tan^2x) + 2\tan x} = \frac{2}{3}.

Pay ve paydayı sadeleştirerek şunu elde ederiz:

-\frac{1 - \tan^2x}{1 + 2\tan x + \tan^2x} = \frac{2}{3}.

---

Adım 5: Çözüm

Sonuç olarak, denklem şu hale gelir:

3(1 - \tan^2x) = -2(1 + 2\tan x + \tan^2x).

Parantezleri açıp terimleri düzenleyelim:

3 - 3\tan^2x = -2 - 4\tan x - 2\tan^2x.

Tüm terimleri bir araya getirerek:

\tan^2x - 4\tan x - 5 = 0.

Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Çözmek için çarpanlara ayırabiliriz:

(\tan x - 5)(\tan x + 1) = 0.

Buradan iki çözüm elde ederiz:

\tan x = 5 \quad \text{veya} \quad \tan x = -1.

---

Adım 6: Aralık Kontrolü

Soruda 0 < x < \frac{\pi}{2} olduğu verilen bir aralığımız var. Bu aralıkta \tan x pozitif olmalıdır. Bu yüzden \tan x = -1 seçeneği elenir.

Sonuç:

\tan x = 5.

---

Cevap: E) 5

@Havva_Diken