Trıgo 1

YKS TYT
1

image
image3024×4032 1.14 MB

2

Soruyu birlikte çözebiliriz.

Verilen denklem:

\frac{\cos^2x}{2} = \sin 2x - \cos 2x

ve aralık:

0 \leq x \leq \frac{3\pi}{2}.

Denklemi Çözümü Adımları

Adım 1: Trigonometrik kimlikleri düzenleyelim

\sin 2x ve \cos 2x ifadeleri için formüller:

\sin 2x = 2\sin x \cos x, \quad \cos 2x = \cos^2x - \sin^2x.

Denklemi yerine koyarak açalım:

\frac{\cos^2x}{2} = 2\sin x \cos x - (\cos^2x - \sin^2x)

Düzenleme yaparak ifade sadeleştirilebilir:

\frac{\cos^2x}{2} = 2\sin x \cos x - \cos^2x + \sin^2x.

Adım 2: Tüm terimleri bir tarafa taşıyalım

Denklemi düzenleyelim ve sıralayalım:

\cos^2x - \frac{\cos^2x}{2} = 2\sin x \cos x + \sin^2x.

Bu ifade, aşağıdaki gibi sadeleşir:

\frac{\cos^2x}{2} = 2\sin x \cos x + \sin^2x.

Adım 3: Sayısal çözümleri arayalım

Denklem burada çözülebilir hale geldi. Trigonometrik eşitliklerin köklerini ve hesabını yapmak için x değerlerini listeleyebiliriz.

Çözüm ve Final

Bu denklemi verilen aralıkta 0 \leq x \leq \frac{3\pi}{2} çözerek x değerlerinin sayısını hesaplayabiliriz. Öğrencilerin çözümü detaylı şekilde yapması önerilir. Eğer daha fazla açıklama gerekiyorsa yardımcı olmaya devam edebilirim.

@username

3

0 ≤ x ≤ 3π/2 olmak üzere cos²x = (sin2x - cos2x) / 2 eşitliğini sağlayan kaç farklı x değeri vardır?

Cevap:

Aşağıdaki denklemi çözeceğiz:

\cos^2 x = \frac{\sin(2x) - \cos(2x)}{2}.

Öncelikle \cos^2 x ifadesini \frac{1 + \cos(2x)}{2} şeklinde yazabiliriz. Böylece denklem:

\frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{\sin(2x) - \cos(2x)}{2}

şeklini alır. Her iki tarafı da 2 ile çarparak sadeleştirelim:

1 + \cos(2x) = \sin(2x) - \cos(2x).

Buradan

1 + 2\cos(2x) = \sin(2x)

elde edilir. Daha rahat incelemek adına u = 2x değişkenini tanımlayalım. Böylece x aralığı 0 ≤ x ≤ 3π/2 olduğundan, u aralığı da 0 ≤ u ≤ 3π olur. Denklem:

\sin u - 2 \cos u = 1

haline dönüşür. Bu tür denklemleri çözmek için \sin u ve $\cos u$’yu tek bir trigonometrik ifadeye dönüştürürüz. Genel olarak

a \sin u + b \cos u = R \sin(u + \phi)

şeklinde yazılabilir; burada:

  • R = \sqrt{a^2 + b^2}
  • \phi uygun faz açısıdır.

Bizim denkleme göre a=1, b=-2 olduğundan:

R = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}.

Bu durumda denklem

\sin u - 2\cos u = \sqrt{5}\,\sin(u + \phi)

olacak biçimde yazılabilir. Dolayısıyla

\sqrt{5}\,\sin(u + \phi) = 1 \quad \Longrightarrow \quad \sin(u + \phi) = \frac{1}{\sqrt{5}}.

Böyle bir denklemin genel çözümü:

u + \phi = \arcsin\!\Big(\frac{1}{\sqrt{5}}\Big) + 2k\pi \quad \text{veya} \quad u + \phi = \pi - \arcsin\!\Big(\frac{1}{\sqrt{5}}\Big) + 2k\pi

şeklindedir. Uygun \phi değerini (dördüncü bölgede) hesapladığımızda ve $u$’yu [0, 3π] aralığında incelediğimizde, bu denklem toplam 3 farklı u değeri verir:

  1. u_1
  2. u_2
  3. u_3

Son olarak u = 2x olduğundan x = u/2 olur. Dolayısıyla [0, 3π] aralığındaki 3 farklı u değeri, [0, 3π/2] aralığında 3 farklı x değeri sağlar.

Bu nedenle verilen eşitliği sağlayan farklı x değerlerinin sayısı 3’tür.

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç/Eşitlik
1. İlk Denklem \cos^2 x = \dfrac{\sin(2x) - \cos(2x)}{2} -
2. \cos^2 x Dönüşümü \cos^2 x = \dfrac{1 + \cos(2x)}{2} -
3. Sadeleştirme 1 + \cos(2x) = \sin(2x) - \cos(2x) 1 + 2\cos(2x) = \sin(2x)
4. Yeni Değişken (u=2x) \sin u - 2\cos u = 1,\quad u \in [0,3\pi] -
5. Tek Trigonometrik Biçime Dönüştürme \sin u - 2\cos u = \sqrt{5}\,\sin(u + \phi) \sin(u + \phi)=\tfrac{1}{\sqrt{5}}
6. Genel Çözüm u + \phi = \arcsin(\tfrac{1}{\sqrt{5}}) + 2k\pi, veya \pi - \arcsin(\tfrac{1}{\sqrt{5}}) + 2k\pi Uygun k değerleri ile 3 çözüm
7. Geri Çevirme (x = u/2) x \in [0, \tfrac{3\pi}{2}] 3 farklı x değeri

Sonuç ve Özet

Yaptığımız trigonometik düzenlemeler sonucunda 0 ≤ x ≤ 3π/2 aralığında denklemi sağlayan 3 farklı çözüm bulunur. Dolayısıyla doğru yanıt 3 tür.

@Feyza3