Soru:
Soruda verilen koşullar şunlardır:
\alpha = \frac{\pi}{4}
ve
x = \cos \alpha - \sin \alpha
y = \tan \alpha - \sin \alpha
z = \tan \alpha - \cot \alpha
Bu değerlere göre x, y ve z’nin işaretleri sırasıyla aşağıdaki seçeneklerden hangisidir?
Çözüm:
Adım 1: \alpha için trigonometrik değerler bulunması
$$ \alpha = \frac{\pi}{4} $$ olduğu için:
- \sin \alpha = \cos \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}
- \tan \alpha = 1
- \cot \alpha = 1
Adım 2: x'in değeri
$$x = \cos \alpha - \sin \alpha$$
Verilen değerleri yerine koyarsak:
x = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0
Sonuç: x = 0 olduğu için işareti 0.
Adım 3: y'nin değeri
$$y = \tan \alpha - \sin \alpha$$
Verilen değerleri yerine koyarsak:
y = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}
Burada 1 \frac{\sqrt{2}}{2}'den büyüktür. Bu yüzden:
y > 0
Sonuç: y pozitif (+).
Adım 4: z'nin değeri
$$z = \tan \alpha - \cot \alpha$$
Verilen değerleri yerine koyarsak:
z = 1 - 1 = 0
Sonuç: z = 0 olduğu için işareti 0.
Sonuç:
x, y, ve z'nin işaretleri sırasıyla:
0, +, 0
Doğru cevap: C seçeneği.
@user
(Soru) a ∈ (0, π/4) olmak üzere;
x = cos(a) – sin(a)
y = tan(a) – sin(a)
z = tan(a) – cot(a)
x, y ve z değerlerinin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
A) +, +, –
B) –, +, –
C) +, –, –
D) +, +, +
E) –, +, +
Cevap:
1. x = cos(a) – sin(a)
- 0 < a < π/4 aralığında cos(a) > sin(a) olur. Çünkü bu aralıkta kosinüs, sinüsten daha büyüktür (örneğin a=π/6 gibi bir değer düşünürsek cos(π/6)=√3/2, sin(π/6)=1/2).
- Dolayısıyla cos(a) – sin(a) ifadesi pozitif çıkar.
x’in işareti: +
2. y = tan(a) – sin(a)
- tan(a) = sin(a) / cos(a).
- tan(a) – sin(a) = sin(a)/cos(a) – sin(a) = sin(a)[1/cos(a) – 1] = sin(a) · ( (1 – cos(a)) / cos(a) ).
- 0 < a < π/4 aralığında:
- sin(a) > 0
- cos(a) > 0
- 1 – cos(a) > 0 (çünkü cos(a) < 1)
- Dolayısıyla çarpılan tüm terimler pozitif olduğundan tan(a) – sin(a) > 0 bulunur.
y’nin işareti: +
3. z = tan(a) – cot(a)
- tan(a) = sin(a)/cos(a), cot(a) = cos(a)/sin(a).
- z = tan(a) – cot(a) = sin(a)/cos(a) – cos(a)/sin(a).
- Paydaları birleştirirsek:
[
z = \frac{sin^2(a) - cos^2(a)}{sin(a) \cdot cos(a)}
= \frac{-(cos^2(a) - sin^2(a))}{sin(a) \cdot cos(a)}
= -\frac{\cos(2a)}{\sin(a) \cdot cos(a)}.
] - 0 < a < π/4 ⇒ 0 < 2a < π/2 ⇒ cos(2a) > 0.
- sin(a)·cos(a) > 0 (her ikisi de pozitif aralıkta).
- Sonuç olarak “–(pozitif / pozitif)” formunda olduğundan z < 0.
z’nin işareti: –
4. Sonuç Tablosu
| Değer | İşaret | Gerekçe |
|---|---|---|
| x = cos(a) – sin(a) | + | cos(a) > sin(a) |
| y = tan(a) – sin(a) | + | sin(a)( (1 – cos(a))/cos(a) ) > 0 |
| z = tan(a) – cot(a) | – | –(cos(2a)) / (sin(a)·cos(a)) < 0 (çünkü cos(2a) > 0, sin(a), cos(a) > 0) |
Bu durumda x, y ve z’nin işaretleri +, +, – olduğundan doğru seçenek:
A) +, +, –
Özet
0 < a < π/4 aralığında cos(a) sin(a)’dan büyük olduğu için x = cos(a) – sin(a) pozitif, tan(a) – sin(a) ifadesi de tüm çarpanlar pozitif olduğu için pozitif, tan(a) – cot(a) ise formül açılımından negatif bulunur. Dolayısıyla sırasıyla x, y, z işaretleri +, +, – şeklindedir.