Sorunun çözümü:
Soruya göre, x \in (\pi, \frac{3\pi}{2}) aralığında ve \sin x > \sin (\frac{\pi}{2} + x) koşulu verilmiş. Bu aralığın trigonometrik özelliklerini kullanarak ifadelerin değerlendirileceği pozitiflik durumu belirlenebilir.
Adım 1: Verilen aralığı analiz edelim
x \in (\pi, \frac{3\pi}{2}), 2. ve 3. çeyrekler arasında bir bölgeye karşılık gelir. Bu çeyreklerde trigonometrik fonksiyonların işaretleri:
- \tan: 3. bölgede pozitif, 2. bölgede negatif.
- \cot: 3. bölgede pozitif, 2. bölgede negatif.
- \cos: 2. ve 3. bölgede negatif.
Bu aralık yalnızca 3. çeyreği kapsar, çünkü verilen aralık \pi < x < \frac{3\pi}{2} içeriyor. Bu nedenle analiz sadece 3. çeyrekte yapılacaktır. 3. çeyrek için:
- \tan pozitif.
- \cot pozitif.
- \cos negatif.
Adım 2: İfadeleri tek tek inceleyelim
I. \tan 2x
- x \in (\pi, \frac{3\pi}{2}) olduğundan, 2x \in (2\pi, 3\pi) aralığına taşınır.
- Bu durumda 2\pi ve 3\pi aralığında \tan 2x fonksiyonu pozitif olur.
- Sonuç: Pozitif.
II. \cot 3x
- x \in (\pi, \frac{3\pi}{2}) olduğundan 3x \in (3\pi, \frac{9\pi}{2}) taşır.
- 3\pi ile \frac{9\pi}{2} arasındaki bölgede, \cot 3x pozitif olur çünkü 3x hala 3. çeyrekte yer alır.
- Sonuç: Pozitif.
III. \cos 4x
- x \in (\pi, \frac{3\pi}{2}) olduğunda 4x \in (4\pi, 6\pi) aralığını kapsar.
- 4\pi ve 6\pi bölgesinde \cos(x) değişen işaretlidir ancak 4x tam bir çarpımla 3\pi negatif bölgesine döner.
- Sonuç: Negatif.
Adım 3: Sonuçların birleştirilmesi
Sadece I ve II pozitif çıkmıştır. \cos 4x negatif olduğu için E şıkkı elenir.
Sonuç:
Doğru cevap: D) I ve II
@username
x ∈ (π, 3π/2) olmak üzere sin x > sin( (π/2) + x ) veriliyor. Buna göre I. tan2x, II. cot3x, III. cos4x ifadelerinin hangileri bu aralıktaki tüm x için pozitiftir?
Cevap:
Öncelikle soruda verilen eşitsizliği inceleyelim:
sin x > sin( (π/2) + x )
Trigonometride sin( (π/2) + α ) = cos α olduğu için ifademiz:
sin x > cos x
haline gelir. Aşağıdaki adımlarla ilerleyelim:
1. x Aralığının Belirlenmesi ve sin x > cos x Koşulu
• x ∈ (π, 3π/2) (yani 180° ile 270° arasında).
• Bu aralık Üçüncü Dörtgen’e (Quadrant III) denk gelir. Burada sin x < 0 ve cos x < 0’dır.
Bununla birlikte sin x > cos x koşulunu sağlayan x’ler, Üçüncü Dörtgen’de π ile 5π/4 (180° ile 225°) arasındadır. Çünkü:
sin x = cos x denklemi ⇒ tan x = 1 ⇒ x = π/4 + kπ.
Bu değer Üçüncü Dörtgen’de 5π/4’tür.
• Dolayısıyla koşulu sağlayan aralık: x ∈ (π, 5π/4).
2. tan(2x) İfadesinin İşareti
• x ∈ (π, 5π/4) ⇒ 2x ∈ (2π, 5π/2).
• 2x’i 2π’ye (360°’ye) göre mod aldığımızda 2x ∈ (0, π/2) (yani 0° ile 90° arası).
• 0°–90° aralığında tan(2x) > 0’dır. Dolayısıyla tan(2x) bu aralıkta her zaman pozitiftir.
3. cot(3x) İfadesinin İşareti
• x ∈ (π, 5π/4) ⇒ 3x ∈ (3π, 15π/4) yani (540°, 675°).
• 3x değerini 360° çıkararak standarda indirgersek 3x ∈ (180°, 315°).
- 180°–270° aralığında (Üçüncü Dörtgen) tan(3x) > 0 ⇒ cot(3x) > 0.
- 270°–315° aralığında (Dördüncü Dörtgen) tan(3x) < 0 ⇒ cot(3x) < 0.
• Görüldüğü gibi 3x, (180°, 270°) ve (270°, 315°) aralıklarını kapsadığından cot(3x) bir kısımda pozitif, diğer kısımda negatiftir. Bu nedenle tüm x değerleri için pozitif değildir.
4. cos(4x) İfadesinin İşareti
• x ∈ (π, 5π/4) ⇒ 4x ∈ (4π, 5π) yani (720°, 900°).
• 4x’i 360° (2π) çıkararak standarda indirgersek 4x ∈ (360°, 540°), bu da (0°, 180°)’e karşılık gelir.
- 0°–90° aralığında cos(4x) > 0 (Birinci Dörtgen).
- 90°–180° aralığında cos(4x) < 0 (İkinci Dörtgen).
• 4x bu aralığın tamamını taradığından cos(4x) bir kısımda pozitif, bir kısımda negatiftir. Yani tüm x değerlerinde pozitiftir diyemeyiz.
5. Sonuç
Sadece tan(2x) ifadesi (I) incelenen aralıkta her zaman pozitiftir. Diğer ifadeler (II) ve (III) tüm aralık boyunca pozitif kalmadığından doğru cevap:
Yalnız I
Özet Tablo
| İfade | İncelenen Aralık | Açılan Açı Aralığı (mod 2π) | İşaret Analizi | Sonuç (Pozitif mi?) |
|---|---|---|---|---|
| tan(2x) | x ∈ (π, 5π/4) | 2x ∈ (2π, 5π/2) → (0, π/2) | Birinci Dörtgen’de tan(θ) > 0 | Evet (Her zaman +) |
| cot(3x) | x ∈ (π, 5π/4) | 3x ∈ (3π, 15π/4) → (180°, 315°) | III. Dörtgende +, IV. Dörtgende - | Hayır (Tamamında + değil) |
| cos(4x) | x ∈ (π, 5π/4) | 4x ∈ (4π, 5π) → (360°, 540°) → (0°,180°) | I. Dörtgende +, II. Dörtgende - | Hayır (Tamamında + değil) |
Sonuç olarak doğru seçenek: Yalnız I (tan(2x)).
x ∈ (π, 3π/2) aralığında ve sinx > sin(π/2 + x) koşulu altında, I. tan2x, II. cot3x, III. cos4x ifadelerinin hangilerinin bu aralıktaki tüm x değerleri için pozitif olduğunu bulalım.
1) Aralık ve sinx > sin(π/2 + x) Koşulu
x ∈ (π, 3π/2) ⇒ Derece olarak 180° < x < 270°, yani üçüncü bölgede bulunuyoruz. Üçüncü bölgede sinx < 0 ve cosx < 0’dır.
Ayrıca sin(π/2 + x) = cosx olduğundan,
sinx > sin(π/2 + x) ifadesi sinx > cosx anlamına gelir.
180° < x < 270° aralığında sinx = cosx denklemi x = 225° (5π/4) noktasında sağlanır.
• sinx > cosx, x ∈ (180°, 225°) (yani π < x < 5π/4)
• 225° (5π/4) sonrası sinx < cosx olur.
Dolayısıyla soruda geçen “sinx > sin(π/2 + x)” koşulu, x’i aslında (π, 5π/4) aralığına indirger.
2) tan(2x) İncelemesi
x ∈ (π, 5π/4) ⇒ 2x ∈ (2π, 5π/2).
Derece cinsinden 2π = 360°, 5π/2 = 450° ⇒ 2x ∈ (360°, 450°).
Bir tam tur (360°) çıkartırsak, bu (0°, 90°) aralığına denk gelir. 0° ile 90° arasındaki açılarda tan pozitif olduğundan,
tan(2x) bu aralıkta sürekli pozitiftir.
3) cot(3x) İncelemesi
x ∈ (π, 5π/4) ⇒ 3x ∈ (3π, 15π/4).
Derece cinsinden 3π = 540°, 15π/4 = 675° ⇒ 3x ∈ (540°, 675°).
Bir tam tur (360°) çıkarınca aralık (180°, 315°) olur (yani 3x - 360° ile bakıldığında).
• 180°–270° (üçüncü bölgede) tan pozitif ⇒ cot da pozitif
• 270°–315° (dördüncü bölgede) tan negatif ⇒ cot da negatif
Bu aralık (180°, 315°) içinde 270° noktasında işaret değişir. Demek ki x, (π, 5π/4) içinde ilerlerken 3x de 540° ile 675° arasında dolaşır; 540°–630° (3. bölge) kısmında cot(3x) > 0 iken 630°–675° (4. bölge) kısmında cot(3x) < 0 olur. Dolayısıyla cot(3x) her x için sürekli pozitif değildir.
4) cos(4x) İncelemesi
x ∈ (π, 5π/4) ⇒ 4x ∈ (4π, 5π).
Derece cinsinden 4π = 720°, 5π = 900° ⇒ 4x ∈ (720°, 900°). Bir tam tur (720°) çıkarırsak (0°, 180°) elde ederiz.
• 0°–90° arası cos pozitif
• 90°–180° arası cos negatif
4x = 810° (yani 90° + 720°) noktasında cos(4x) = 0 olur ve işareti değişir. 4x = 810° ⇒ x = 202,5° = 9π/8 (ki bu da (π, 5π/4) içinde yer alır). Dolayısıyla x, 180°’den 202,5°’ye gidene kadar cos(4x) > 0, 202,5°’den 225°’ye kadar cos(4x) < 0 olur. Yani cos(4x) da her x için sürekli pozitif değildir.
Sonuç
Yalnızca tan(2x), verilen (π, 5π/4) aralığında her x için pozitif kalır. Bu nedenle doğru cevap:
A) Yalnız I (tan2x pozitiftir).
@username