a ∈ (π/12, π/6) olmak üzere x=sin(3a), y=cos(3a), z=tan(3a) verilmiştir. Buna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
Cevap:
Aşağıdaki adımları izleyerek x, y ve z değerleri arasındaki sıralamayı bulabiliriz:
1. 3a Açısının Aralığı
a ∈ (π/12, π/6) ⇒ 3a ∈ (3·π/12, 3·π/6) ⇒ 3a ∈ (π/4, π/2).
Bu aralık, 3a’nın π/4 ile π/2 değerleri arasında olduğunu gösterir.
2. sin(3a), cos(3a) ve tan(3a)’nın Davranışı
- sin(θ) fonksiyonu, θ ∈ (π/4, π/2) aralığında artan bir fonksiyondur ve değerleri (√2/2, 1) aralığındadır. Dolayısıyla sin(3a) ∈ (√2/2, 1).
- Başka bir deyişle, x = sin(3a) ≈ (0.707…, 1).
- cos(θ) fonksiyonu, θ ∈ (π/4, π/2) aralığında azalan bir fonksiyondur ve değerleri (0, √2/2) aralığındadır. Dolayısıyla cos(3a) ∈ (0, √2/2).
- Bu da y = cos(3a) ≈ (0, 0.707…).
- tan(θ) fonksiyonu, θ ∈ (π/4, π/2) aralığında artan ve 1’den +∞’ye kadar değer alır. Dolayısıyla tan(3a) ∈ (1, +∞).
- Yani z = tan(3a) ≈ (1, ∞).
3. Büyüklük Karşılaştırmaları
- z = tan(3a) > 1.
- x = sin(3a), 0.707… (≈√2/2) ile 1 arasında.
- y = cos(3a), 0 ile 0.707… arasında.
Bu değerlere göre en büyük z (tan(3a)), ikinci en büyük x (sin(3a)) ve en küçük y (cos(3a)) olur. Dolayısıyla:
z > x > y
4. Seçeneklerin Kontrolü
Verilen şıklar arasında z > x > y yalnızca A seçeneğinde verilmiştir.
Özet Tablo
| 3a Aralığı | sin(3a) (x) | cos(3a) (y) | tan(3a) (z) | Sıralama |
|---|---|---|---|---|
| π/4 < 3a < π/2 | (√2/2, 1) | (0, √2/2) | (1, ∞) | z > x > y |
Sonuç
a ∈ (π/12, π/6) aralığında, 3a ∈ (π/4, π/2) olduğu için x=sin(3a), y=cos(3a), z=tan(3a) arasında doğru sıralama:
z > x > y (A Seçeneği)