Soruyu çözmek için verilen ifadeler üzerinden tek tek işaretlerin bulunması gerekiyor:
Verilenler:
- \frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{4} aralığında. Bu aralık 3. bölge olarak düşünülebilir, çünkü trigonometrik işaretler burada farklıdır.
- Verilen fonksiyonlar:
- a = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)
- b = \cos(2x + \pi)
- c = \tan\left(x + \frac{\pi}{4}\right)
- d = \cot\left(x - 2\pi\right)
Adım adım çözüm:
1. a = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right):
x verilen aralıktadır: \frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{4}. İçerideki açıyı hesaplarsak:
Bu, 2x + \frac{\pi}{3} açısının 4. bölgeye düşmesine neden olur. 4. Bölgede sinüs negatiftir.
Dolayısıyla a < 0.
2. b = \cos\left(2x + \pi\right):
2x + \pi açısını ele alalım:
Bu ifade 3. bölgeye düşer. 3. Bölgede kosinüs negatiftir.
Dolayısıyla b < 0.
3. c = \tan\left(x + \frac{\pi}{4}\right):
x aralığına ek olarak, \frac{\pi}{4}'ü eklersek:
Bu, 2. bölgeye düşer. Ve 2. Bölgede tanjant pozitiftir.
Dolayısıyla c > 0.
4. d = \cot\left(x - 2\pi\right):
Açı x - 2\pi'yi normal bir dönem içinde düşünürsek:
İçerik 1. bölgeye denk gelir, çünkü kotanjantın işareti burada pozitiftir.
Dolayısıyla d > 0.
Sonuç:
a, b, c, d işaretleri sırasıyla -, -, +, + olur. Bu nedenle doğru cevap:
B) -, -, +, +
π/2 < x < 3π/4 olmak üzere a, b, c ve d değerlerinin işaretleri nedir?
Cevap:
a = sin(2x + π/3), b = cos(2x + π), c = tan(x + π/4), d = cot(x − 2π) için her birinin işaretini belirleyelim.
1. a = sin(2x + π/3)
• x aralığı: π/2 < x < 3π/4
• 2x aralığı: 2*(π/2) = π ile 2*(3π/4) = 3π/2, yani π < 2x < 3π/2
• 2x + π/3 aralığı: π + π/3 = 4π/3 ile 3π/2 + π/3 = 11π/6, yani
4π/3 < 2x + π/3 < 11π/6
Bu aralık (240°, 330°) dereceler aralığına denk gelir (3. ve 4. bölge). Sininüs bu bölgelerde negatif olduğu için:
a < 0
2. b = cos(2x + π)
• Aynı şekilde 2x aralığı: π < 2x < 3π/2
• 2x + π aralığı: (π + π) = 2π ile (3π/2 + π) = 5π/2, yani
2π < 2x + π < 5π/2
Bu aralık (360°, 450°) dereceye tekabül eder ki 360° eklenerek bakıldığında (0°, 90°) aralığına kalibre edilebilir. Kosinüs (0°, 90°) aralığında pozitif olduğu için:
b > 0
3. c = tan(x + π/4)
• x aralığı: π/2 < x < 3π/4
• x + π/4 aralığı: (π/2 + π/4) = 3π/4 ile (3π/4 + π/4) = π, yani
3π/4 < x + π/4 < π
Bu aralık (135°, 180°) dereceye denk gelir (2. bölge). Tanjant 2. bölgede negatif olduğu için:
c < 0
4. d = cot(x − 2π)
• x aralığı: π/2 < x < 3π/4
• x − 2π aralığı: (π/2 − 2π) = −3π/2 ile (3π/4 − 2π) = −5π/4, yani
−3π/2 < x − 2π < −5π/4
Bu aralık derece cinsinden (−270°, −225°) olup 360° ekleyince (90°, 135°) derecesine denk gelir (2. bölge). Kotanjant 2. bölgede tıpkı tanjant gibi negatiftir (tan negatif ise cot da negatiftir):
d < 0
Özet Tablo
| Değer | Dönüşüm | Aralık | Bölge | Sonuç |
|---|---|---|---|---|
| a = sin(2x + π/3) | 2x + π/3 | (4π/3, 11π/6) | 3. ve 4. | – |
| b = cos(2x + π) | 2x + π | (2π, 5π/2) | 0°–90° (mod 360°) | + |
| c = tan(x + π/4) | x + π/4 | (3π/4, π) | 2. bölge | – |
| d = cot(x – 2π) | x – 2π | (−3π/2, −5π/4) → (90°, 135°) (mod 360°) | 2. bölge | – |
Sonuç
Bulduğumuz işaret sıralaması (a, b, c, d) = (–, +, –, –) olup seçeneklerde bu D şıkkına karşılık gelmektedir.