Verilen trigonometri sorusu:
Bu soruyu çözmek için, trigonometri kurallarını ve özdeşliklerini kullanarak ifadeyi sadeleştireceğiz. Adım adım ilerleyelim.
1. Trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi
Soruda verilen ifadeyi birleştirip ortak paydaya taşıyalım:
Bu ifadede payda ortak olduğu için birleşti. Şimdi payı inceleyelim:
2. Payda trigonometrik özdeşlik uygulayalım
Trigonometrik ifadelerde şu özdeşliği hatırlıyoruz:
Bu durumda, paydaki ifade \cos(3x)\cos(x) + \sin(3x)\sin(x), \cos(3x - x) açılımıdır.
Yani:
Bu bulgumuzu yerine yazdığımızda ifade şu hale gelir:
Şimdi bu ifadeyi düzenleyelim.
3. \sin(x)\cos(x) için özdeşlik kullanımı
Trigonometrik özdeşlikten şunu biliyoruz:
Burada \sin(x)\cos(x) ifadesini \frac{\sin(2x)}{2} olarak ifade edebiliriz. Bu durumda verilen ifade şu hale gelir:
Bu ifadeye dikkat edelim: \frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}, \cot(2x)'ye eşittir.
Yani:
4. Verilen eşitliği yerine yazalım
Şimdi verilen problemi yerine koyabiliriz:
Buradan $\cot(2x)$’i çekelim:
5. $\tan(2x)$’i bulma
\cot(2x)'in tersi $\tan(2x)$’dir. Yani:
6. \tan(x) için formül
Şimdi \tan(2x) ve \tan(x) arasındaki ilişkiyi hatırlayalım:
Bu formülde \tan(2x) = \frac{12}{5} olarak yerine yazalım:
Bu bir denklem olduğu için işler dışlar çarpımı yapalım:
Dağıtalım:
Bu ifadeyi standart bir ikinci derece denklem gibi düzenleyelim:
7. İkinci derece denklemi çözme
Elde ettiğimiz denklem:
(Burada \tan(x) = t olarak gösterdik.)
Bu denklem için diskriminant (delta) hesaplayalım:
Burada a = 12, b = 10, c = -12:
Kökler şu formülle bulunur:
Yerine yazalım:
İki kök buluruz:
- t = \frac{-10 + 26}{24} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}
- t = \frac{-10 - 26}{24} = \frac{-36}{24} = -\frac{3}{2}
8. Sonuç
\tan(x) için iki olasılık bulduk:
Ancak bu sorunun bağlamına göre verilen açının pozitif olması genellikle tercih edilir. Bu yüzden:
Sonuç Tablosu
| Adım | İşlem |
|---|---|
| Verilen Denklem | \frac{\cos(3x)}{\sin(x)} + \frac{\sin(3x)}{\cos(x)} = \frac{5}{6} |
| Paydanın Birleştirilmesi | \frac{\cos(2x)}{\sin(x)\cos(x)} |
| Sadeleştirme | \frac{2\cos(2x)}{\sin(2x)} = 2\cot(2x) |
| \cot(2x) Elde Edilmesi | \cot(2x) = \frac{5}{12} |
| \tan(2x) Hesaplanması | \tan(2x) = \frac{12}{5} |
| İkinci Derece Denklem | 12\tan^2(x) + 10\tan(x) - 12 = 0 |
| Çözüm | \tan(x) = \frac{2}{3} veya -\frac{3}{2} |
Sonuç: \boxed{\frac{2}{3}}
Verilen limit sorusu:
Bu limit sorusunu dikkatlice çözmek için adım adım ilerleyeceğiz, çünkü hem paydayı hem de payı sadeleştirmek gerekiyor.
1. İlk önce limitte doğrudan yerine koymayı deneyelim
İlk adımda, limitte x = 4 yerine koymayı deneyelim.
-
Pay ifadesindeki terimleri yerine koyalım:
2 - \sqrt{x} = 2 - \sqrt{4} = 2 - 2 = 0(x - 5) = 4 - 5 = -1Pay:
(2 - \sqrt{x})(x - 5) = 0 \times (-1) = 0 -
Şimdi payda ifadesine bakalım:
-x^2 + 5x - 4 = -(4)^2 + 5(4) - 4 = -16 + 20 - 4 = 0
Hem pay hem de payda 0 olduğundan, bu bir belirsizlik durumudur (\frac{0}{0}). O halde ifadeyi sadeleştirmeye çalışmamız gerekiyor.
2. Payı ve paydayı sadeleştirme işlemine başlayalım
(a) Pay ifadesini düzenleyelim:
Pay:
Burada (2 - \sqrt{x}) kısmını bir kare farkı yöntemiyle düzenleyebiliriz. Çarpanın kolaylaşması için şunu görüyoruz:
Bu durumda pay şu hale gelir:
(b) Payda ifadesini düzenleyelim:
Payda:
Bu bir ikinci dereceden polinomdur ve köklerine ayırabiliriz. Çözüm için dikkat edelim:
Denklemi şu şekilde faktörleyelim:
- \Delta = b^2 - 4ac yöntemiyle köklerini bulalım:\Delta = 5^2 - 4(-1)(-4) = 25 - 16 = 9
- Kökler:x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 \pm 3}{2(-1)}x = \frac{-5 + 3}{-2} = 1 \quad \text{ve} \quad x = \frac{-5 - 3}{-2} = 4
Bu durumda payda şu şekilde çarpanlarına ayrılır:
3. Düzenlenmiş ifadeleri yerine yazalım
Limit ifademiz artık şu hale gelir:
Paydaki ve paydadaki (x - 4) terimleri birbirini götürür, ancak bunun sadece x \to 4 durumunda olduğunu unutmayalım! Sadeleştirdikten sonra elimizde şu kalır:
4. Sadeleştirilmiş ifadede x \to 4 yerine koyalım
Artık x = 4 değerini yazabiliriz.
-
Paydaki (x - 5) kısmı:
x - 5 = 4 - 5 = -1 -
Paydaya bakalım, (2 + \sqrt{x}) kısmında x = 4 yerine yazalım:
2 + \sqrt{x} = 2 + \sqrt{4} = 2 + 2 = 4 -
(x - 1) kısmında x = 4 yerine yazalım:
x - 1 = 4 - 1 = 3
Pay ve paydayı birleştirelim:
Sonuç
Sorunun cevabı:
Çözüme Genel Bakış Tablosu
| Adım | İşlem |
|---|---|
| 1. Yerine koyma | \frac{0}{0} belirsizliği fark edildi. |
| 2. Payın düzenlenmesi | 2 - \sqrt{x} = \frac{4 - x}{2 + \sqrt{x}} çarpanı yaratıldı. |
| 3. Paydanın düzenlenmesi | -x^2 + 5x - 4 = -(x - 4)(x - 1) olarak çarpanlarına ayrıldı. |
| 4. Sadeleştirme | (x - 4) terimleri sadeleştirildi. |
| 5. Limitin hesaplanması | \lim_{x \to 4} = \frac{-1}{4 \cdot (-3)} = \frac{1}{12} sonucu bulundu. |
Cevap: $\boxed{\frac{1}{12}}
SORU 36: A(-3, 2) noktasına belirtilen hareketler uygulandığında oluşan nokta ile ( A ) noktası arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Sorunun Verisi:
Noktalar Analitik Düzlem üzerinde hareket ediyor. Hareketler şu şekilde tanımlanmış:
- Kırmızı Yıldız (*): ( x )-ekseni boyunca sağa doğru 2 birim hareket.
- Mavi Kare (\square): ( x )-ekseni boyunca sola doğru 3 birim hareket.
- Yeşil Daire (\circ): ( y )-ekseni boyunca yukarı doğru 1 birim hareket.
- Turuncu Üçgen (\triangle): ( y )-ekseni boyunca aşağı doğru 2 birim hareket.
Başlangıç noktası: ( A(-3, 2) ). Bu hareketler sırasıyla uygulanır.
1. İlk Hareket: Kırmızı Yıldız (*)
- Kırmızı Yıldız ( x )-ekseni boyunca sağa doğru 2 birim hareket etmeyi ifade eder.
- Yeni noktayı şu şekilde buluruz:
[
x_{\text{yeni}} = -3 + 2 = -1 \quad \text{ve} \quad y_{\text{yeni}} = 2.
] - Yeni nokta: ( (-1, 2) ).
2. İkinci Hareket: Mavi Kare (\square)
- Mavi Kare ( x )-ekseni boyunca sola doğru 3 birim hareket etmeyi ifade eder.
- Noktayı şu şekilde güncelleriz:
[
x_{\text{yeni}} = -1 - 3 = -4 \quad \text{ve} \quad y_{\text{yeni}} = 2.
] - Yeni nokta: ( (-4, 2) ).
3. Üçüncü Hareket: Yeşil Daire (\circ)
- Yeşil Daire ( y )-ekseni boyunca yukarı doğru 1 birim hareket etmeyi ifade eder.
- Noktayı şu şekilde güncelleriz:
[
y_{\text{yeni}} = 2 + 1 = 3 \quad \text{ve} \quad x_{\text{yeni}} = -4.
] - Yeni nokta: ( (-4, 3) ).
4. Dördüncü Hareket: Turuncu Üçgen (\triangle)
- Turuncu Üçgen ( y )-ekseni boyunca aşağı doğru 2 birim hareket etmeyi ifade eder.
- Noktayı şu şekilde güncelleriz:
[
y_{\text{yeni}} = 3 - 2 = 1 \quad \text{ve} \quad x_{\text{yeni}} = -4.
] - Yeni nokta: ( (-4, 1) ).
5. Hareket Sonundaki Noktayla Başlangıç Noktası Arasındaki Uzaklık
Başlangıç noktası: ( A(-3, 2) ).
Son nokta: ( B(-4, 1) ).
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü hatırlayalım:
[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
]
Yerine koyalım:
[
d = \sqrt{((-4) - (-3))^2 + ((1) - (2))^2}
]
[
d = \sqrt{(-4 + 3)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}
]
Sonuç:
Sorunun cevabı:
[
\boxed{\sqrt{2}}
]
SORU 38: Dik koordinat düzleminde verilen üç doğrunun sınırladığı üçgenin alanı?
Verilen veriler:
- ( x - 4y + 7 = 0 )
- ( x + 3y - 21 = 0 )
- ( y = 2x )
Bu doğruların sınırladığı bölgede oluşan üçgenin alanını bulmamız gerekiyor.
1. Doğruların kesişim noktalarını bulalım
(a) ( x - 4y + 7 = 0 ) ve ( x + 3y - 21 = 0 ) doğrularının kesişimi
Bu iki denklemi birbiriyle çözmek için:
[
x - 4y + 7 = 0 \quad \text{(1. denklem)}
]
[
x + 3y - 21 = 0 \quad \text{(2. denklem)}
]
(1) ve (2)’den x‘i yok etmek için çıkartalım:
[
(x - 4y + 7) - (x + 3y - 21) = 0
]
[
-7y + 28 = 0
]
[
y = \frac{28}{7} = 4
]
( y = 4 ) yerine birinci denklemde ((x - 4y + 7 = 0)) yerine koyalım:
[
x - 4(4) + 7 = 0
]
[
x - 16 + 7 = 0 \implies x = 9
]
Kesişim noktası: ( (9, 4) ).
(b) ( x - 4y + 7 = 0 ) ve ( y = 2x ) doğrularının kesişimi
Birinci denklem yerine ( y = 2x )’i koyalım:
[
x - 4(2x) + 7 = 0
]
[
x - 8x + 7 = 0
]
[
-7x + 7 = 0 \implies x = 1
]
( x = 1 ) için ( y = 2x )’ten:
[
y = 2(1) = 2
]
Kesişim noktası: ( (1, 2) ).
(c) ( x + 3y - 21 = 0 ) ve ( y = 2x ) doğrularının kesişimi
Birinci denklem yerine ( y = 2x )’i koyalım:
[
x + 3(2x) - 21 = 0
]
[
x + 6x - 21 = 0
]
[
7x - 21 = 0 \implies x = 3
]
( x = 3 ) için ( y = 2x )’ten:
[
y = 2(3) = 6
]
Kesişim noktası: ( (3, 6) ).
2. Üçgenin Alanını Bulma
Üçgenin üç köşesi:
- ( A(9, 4) )
- ( B(1, 2) )
- ( C(3, 6) )
Alan formülü:
[
\text{Alan} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
]
Yerine koyalım:
[
\text{Alan} = \frac{1}{2} \left| 9(2 - 6) + 1(6 - 4) + 3(4 - 2) \right|
]
[
= \frac{1}{2} \left| 9(-4) + 1(2) + 3(2) \right|
]
[
= \frac{1}{2} \left| -36 + 2 + 6 \right|
]
[
= \frac{1}{2} \left| -28 \right| = \frac{1}{2}(28) = 14
]
Sonuç:
Üçgenin alanı:
[
\boxed{14}
]
SORU: Bir oyun tahtasında daire üzerinde yer alan A, B, C, D, E noktalarındaki kişilerin çubuğu döndürmesine göre, D noktasındaki kişi çubuğu kaç derece döndürmelidir ki çubuk başlangıçtaki A’dan E noktasına gelsin?
Verilen Bilgiler
- Daire şeklindeki tahtanın çevresi 360 derece. Dolayısıyla her tam tur bir daireyi ifade eder.
- Çubuk merkezde sabitlenmiş ve saat/yön hareket ettiriliyor.
- D noktasındaki kişi, çubuğu saatin ters yönünde çeviriyor (360° içinde negatif yönde hareket).
Sorunun tamamını çözer misin
SORUNUN ÇÖZÜMÜ
SORUNUN TAM DETAYLARI
Bu soruda, dairesel bir tahtanın üzerindeki 5 farklı nokta (A, B, C, D ve E) işaretlenmiştir. Bu noktalar arasında bir çubuk takılmıştır ve her bir kişi, kendisine göre belirli bir kurala göre çubuğu döndürüyor. Bizden istenen, D noktasındaki kişinin çubuğu kaç derece döndürmesi gerektiğini hesaplamaktır. Soruyu adım adım çözerek ilerleyeceğiz.
1. Çubuğun Hareket Etme Kuralı
Daire Çevresini Bölme
Daire toplam 360°’dir. Noktalar (A, B, C, D, E) eşit aralıklarla yerleştirilmiştir. Eşit bölündüğüne göre, her bir komşu nokta arasındaki açı:
[
\text{Bir Nokta Arası Açı} = \frac{\text{360°}}{\text{5 Nokta}} = 72°.
]
Yani:
- A-B arası = 72°
- B-C arası = 72°
- C-D arası = 72°
- D-E arası = 72°
Daire üzerinde saat yönünde veya tersinde hareket ederken bu değerleri kullanacağız.
2. Kişilerin Çubuğu Döndürme Kuralı
Herkes Kendine Göre Çubuğu Döndürüyor
Verilen kurala göre:
- A noktasındaki kişi çubuğu saat yönünde dairenin çevresinin ( \frac{1}{5} )'i kadar döndürür.
[
\frac{1}{5} \times 360° = 72°.
] - A noktasındaki kişi çubuğu başlangıçta saat yönünde 72° döndürür. Çubuk artık B noktasına işaret eder.
3. B Noktasında Hareket
Şimdi çubuk B noktasında. Bundan sonra sırayla:
- B noktası kişisi:
B’deki kişi, çubuğu saat yönünde bir tam turun (yani 360°’nin) ( \frac{2}{5} )'i kadar döndürüyor.
[
\frac{2}{5} \times 360° = 144°.
]
Çubuk B’den 144° ilerleyecek.
B’den itibaren 144° ilerlemenin, 72°’lik bölümleri sayılarak hangi noktaya gittiğini bulalım:
[
144° = 2 \times 72°, \quad \text{2 nokta ileri!}
]
B’den 2 nokta ilerlenirse:
( B \to C \to D ). Çubuk artık D noktasını gösteriyor.
4. C Noktasında Hareket
Şimdi çubuk D noktasında. Bir sonraki kişi:
- D’deki kişi:
Yani cevap ne
Tamam, adım adım çözümle açıklıyorum. Bu oldukça karışık bir işlem sırasını gerektiriyor ama sonucunda doğru cevaba ulaşacağız. Cevabı hemen alabilmeniz için çözümü basitleştirip düzenledim.
SORUNUN ÇÖZÜMÜ
Birinci Adım: Noktalar Arası Açı
Dairenin toplam açısı 360° ve 5 eşit parçaya bölünmüş durumda. Bu nedenle iki nokta arasındaki açı:
[
\text{Bir Nokta Arası Açı} = \frac{360°}{5} = 72°.
]
Her bir nokta arasındaki saat yönündeki açı şu şekilde:
- ( A \to B = 72° ),
- ( B \to C = 72° ),
- ( C \to D = 72° ),
- ( D \to E = 72°.)
İkinci Adım: Kuralları Anlamak
-
A noktasındaki kişi ne yapıyor?
Çubuğu, saat yönünde ( \frac{1}{5} ) daire turu kadar çeviriyor.
[
\frac{1}{5} \times 360° = 72°.
]
Çubuk başlangıçta A noktasını gösterirken, 72° döndüğünde artık B noktasını gösterir. -
B noktasındaki kişi ne yapıyor?
Çubuğu, saat yönünde ( \frac{2}{5} ) daire turu kadar çeviriyor.
[
\frac{2}{5} \times 360° = 144°.
]
Çubuk B noktasından 144° saat yönüne döner.
Her nokta arası 72° olduğuna göre:
( 144° = 72° + 72° ). Yani çubuk, ( B \to C \to D ) ilerler ve artık D noktasını gösterir. -
C noktasındaki kişi ne yapıyor?
Çubuğu, saat yönünde ( \frac{3}{5} ) daire turu kadar çeviriyor.
[
\frac{3}{5} \times 360° = 216°.
]
Çubuk D noktasından 216° saat yönüne döner.
Her nokta arası 72° olduğuna göre:
( 216° = 72° + 72° + 72° ). Yani çubuk, ( D \to E \to A \to B ) ilerler ve artık B noktasını gösterir. -
D noktasındaki kişi ne yapıyor?
D’deki kişi, çubuğu saat yönünde ( \frac{4}{5} ) daire turu kadar çeviriyor.
[
\frac{4}{5} \times 360° = 288°.
]
Çubuk B noktasından 288° saat yönüne döner.
Her nokta arası 72° olduğuna göre:
( 288° = 72° + 72° + 72° + 72° ). Yani çubuk, ( B \to C \to D \to E \to A ) ilerler ve artık A noktasını gösterir.
Üçüncü Adım: Sonuç
D noktasındaki kişinin çubuğu kaç derece döndürdüğünü hesapladık. Doğru cevap: 288°.