Mat yazılı 88

Verilen Sorunun Çözümü

Soru:

\frac{\cos 3x}{\sin x} + \frac{\sin 3x}{\cos x} = 6

olduğuna göre, \tan 4x değeri kaçtır?

Çözüm:

  1. Verilen ifadeyi düzenleyelim:

    \frac{\cos 3x}{\sin x} + \frac{\sin 3x}{\cos x} = \frac{\cos 3x \cos x + \sin 3x \sin x}{\sin x \cos x} = 6
  2. Trigonometrik toplam formülü kullanarak pay kısmını yazalım:
    $$\cos 3x \cos x + \sin 3x \sin x = \cos(3x - x) = \cos 2x$$

    Böylece:

    \frac{\cos 2x}{\sin x \cos x} = 6
  3. \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x olduğundan:

    \frac{\cos 2x}{\frac{1}{2} \sin 2x} = 6 \implies \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = 3
  4. \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \cot 2x olduğuna göre:

    \cot 2x = 3
  5. \tan 2x = \frac{1}{\cot 2x} = \frac{1}{3} bulunur.

  6. \tan 4x formülünü kullanalım:

    \tan 4x = \frac{2 \tan 2x}{1 - \tan^2 2x} = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2}
    \tan 4x = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8} = \frac{3}{4}

Final Cevap:

$\tan 4x = \frac{3}{4}$tir.