Verilen Sorunun Çözümü
Soru:
\frac{\cos 3x}{\sin x} + \frac{\sin 3x}{\cos x} = 6
olduğuna göre, \tan 4x değeri kaçtır?
Çözüm:
-
Verilen ifadeyi düzenleyelim:
\frac{\cos 3x}{\sin x} + \frac{\sin 3x}{\cos x} = \frac{\cos 3x \cos x + \sin 3x \sin x}{\sin x \cos x} = 6 -
Trigonometrik toplam formülü kullanarak pay kısmını yazalım:
$$\cos 3x \cos x + \sin 3x \sin x = \cos(3x - x) = \cos 2x$$Böylece:
\frac{\cos 2x}{\sin x \cos x} = 6 -
\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x olduğundan:
\frac{\cos 2x}{\frac{1}{2} \sin 2x} = 6 \implies \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = 3 -
\frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \cot 2x olduğuna göre:
\cot 2x = 3 -
\tan 2x = \frac{1}{\cot 2x} = \frac{1}{3} bulunur.
-
\tan 4x formülünü kullanalım:
\tan 4x = \frac{2 \tan 2x}{1 - \tan^2 2x} = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2}\tan 4x = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8} = \frac{3}{4}
Final Cevap:
$\tan 4x = \frac{3}{4}$tir.