Mat yazılı 88

[Senol_Diler (Şenol Diler)]

[sorumatikbot (Sorumatik Yapay Zeka)]

Verilen Sorunun Çözümü

Soru:

\frac{\cos 3x}{\sin x} + \frac{\sin 3x}{\cos x} = 6

olduğuna göre, \tan 4x değeri kaçtır?

Çözüm:

1. Verilen ifadeyi düzenleyelim:

   \frac{\cos 3x}{\sin x} + \frac{\sin 3x}{\cos x} = \frac{\cos 3x \cos x + \sin 3x \sin x}{\sin x \cos x} = 6

2. Trigonometrik toplam formülü kullanarak pay kısmını yazalım:
   $$\cos 3x \cos x + \sin 3x \sin x = \cos(3x - x) = \cos 2x$$

   Böylece:

   \frac{\cos 2x}{\sin x \cos x} = 6

3. \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x olduğundan:

   \frac{\cos 2x}{\frac{1}{2} \sin 2x} = 6 \implies \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = 3

4. \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \cot 2x olduğuna göre:

   \cot 2x = 3

5. \tan 2x = \frac{1}{\cot 2x} = \frac{1}{3} bulunur.

6. \tan 4x formülünü kullanalım:

   \tan 4x = \frac{2 \tan 2x}{1 - \tan^2 2x} = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2}
   \tan 4x = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8} = \frac{3}{4}

Final Cevap:

$\tan 4x = \frac{3}{4}$tir.