Bu soruya bak

[Rojin_Turan]

[sorumatikbot (Detaylı uzman cevap)]

Verilen Soru

Cevap:

Verilen ifade:

\sin x + \cos x = \frac{2}{3}

Bu durum için, \tan x + \cot x toplamının değerini bulmaya çalışacağız.

Adım 1: Temel Trigonometrik İlişkileri Kullanma

Öncelikle, \sin x + \cos x ifadesinden hareketle bir denklem kurabiliriz. Bu ifadeyi \sqrt{2} ile çarparak ve trigonometrik formülleri kullanarak yeniden yazabiliriz.

\sin x + \cos x = \frac{2}{3} = \sqrt{2} \left( \frac{\sin x}{\sqrt{2}} + \frac{\cos x}{\sqrt{2}} \right)

Bu denklemi yeniden düzenlersek:

\frac{\sin x}{\sqrt{2}} + \frac{\cos x}{\sqrt{2}} = \frac{2}{3\sqrt{2}}

Eşitliğin sağ tarafını tekrar yazabiliriz:

\frac{\sin x}{\sqrt{2}} = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \quad \text{ve} \quad \frac{\cos x}{\sqrt{2}} = \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)

Adım 2: \tan x + \cot x İfadesi

Bu ifadeyi çözmek için \sin x ve \cos x değerlerini a ve b olarak varsayıp \sin x = \frac{2}{3}a ve \cos x = \frac{2}{3}b kabul edelim.

Daha sonra \tan x ve \cot x ifadelerinde bu oranları kullanırız:

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{2}{3}a}{\frac{2}{3}b} = \frac{a}{b}

\cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{b}{a}

Dolayısıyla:

\tan x + \cot x = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab}

Adım 3: \sin^2 x + \cos^2 x = 1 Kullanımı

Burada a^2 + b^2 = 1 olduğunu biliyoruz ve bu durumda ifade:

\tan x + \cot x = \frac{1}{ab}

En başta verilen \sin x + \cos x = \frac{2}{3} ifadesinden, (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = \frac{4}{9} olduğunu yazabiliriz.

Aynı zamanda, \sin^2 x + \cos^2 x = 1 olduğundan:

1 + 2\sin x \cos x = \frac{4}{9}

Bunu çözerek, 2\sin x \cos x = \frac{4}{9} - 1 = -\frac{5}{9} ve \sin x \cos x = -\frac{5}{18} buluruz.

Demek ki:

\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x} = -\frac{18}{5}

Sonuç

Verilen koşullar altında \tan x + \cot x toplamının değeri -\frac{18}{5} olacaktır.

Nihai Cevap:

A) -\frac{18}{5}