Sorumatik sorusu

Görselde yer alan ifadelerin en sade hâlini bulalım.

a. ((\tan x + \cot x) \cdot \sin x)

Öncelikle, tanjant ve kotanjantı daha temel trigonometrik oranlar cinsinden ifade edelim:

  • (\tan x = \frac{\sin x}{\cos x})
  • (\cot x = \frac{\cos x}{\sin x})

İfadeyi yerine koyduğumuzda:

(\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}) \cdot \sin x

Ortak payda bulup birleştirelim:
\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cdot \cos x}

Trigonometrik özdeşliklerden (\sin^2 x + \cos^2 x = 1) olduğu için:
\frac{1}{\sin x \cdot \cos x} \cdot \sin x

Sonuç:
\frac{1}{\cos x}
Bu da:
\sec x

b. (\frac{\sin x \cdot \cos^2 x - \sin x}{\cos^3 x})

Payı ortak çarpan parantezine alalım:
\sin x (\cos^2 x - 1)

\cos^2 x - 1 aynı zamanda (-\sin^2 x)'e eşittir. Bu durumda:
\sin x \cdot (-\sin^2 x) = -\sin^3 x

Şimdi ifadeyi yerine koyup sadeleştirelim:
\frac{-\sin^3 x}{\cos^3 x} = -(\frac{\sin x}{\cos x})^3

Bu da (-\tan^3 x)'e eşittir.

Bu analizlerle ifadelerin en sade halleri:

  • a. (\sec x)
  • b. (-\tan^3 x)