Görselde dört soru yer almakta. Her birini tek tek inceleyelim:
5. Soru:
$$\frac{\sin^2 x}{1-\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x - 1}$$
Bu ifadeyi sadeleştirelim.
- 1 - \cos^2 x = \sin^2 x ve \sin^2 x - 1 = -\cos^2 x, trigonometrik özdeşliklerle elde edilir.
- Bu özdeşlikleri yerine koyarak:
$$\frac{\sin^2 x}{\sin^2 x} + \frac{\cos^2 x}{-\cos^2 x} = 1 - 1 = 0$$
Bu durumda doğru cevap D) 0 olur.
6. Soru:
$$\frac{\sin^3 x - \cos^3 x}{1 + \sin x \cdot \cos x}$$
Bu ifade için fark formülünü kullanarak sadeleştirme yapılabilir:
-
Fark formülü: a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)
-
Burada a = \sin x ve b = \cos x olarak belirleyelim:
$$(\sin x - \cos x)(\sin^2 x + \sin x \cos x + \cos^2 x)$$
-
Özdeşlik kullanılarak \sin^2 x + \cos^2 x = 1, yani:
$$(\sin x - \cos x)(1 + \sin x \cos x)$$
-
Paydaki ve paydaydaki (1 + \sin x \cos x) terimleri birbirini götürür, sonuç:
$$\sin x - \cos x$$
Bu durumda doğru cevap D) (\sin x - \cos x) olur.
7. Soru:
$$\frac{\tan x \cdot \sec x}{1 + \tan^2 x}$$
Bu ifadeyi sadeleştirelim.
-
1 + \tan^2 x = \sec^2 x, trigonometrik özdeşliğini kullanarak:
$$\frac{\tan x \cdot \sec x}{\sec^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\cos^2 x}{1} = \sin x$$
Bu durumda doğru cevap B) (\sin x) olur.
8. Soru:
$$\frac{\sin \alpha}{\csc \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sec \alpha}$$
Bu ifadeyi sadeleştirelim:
-
\csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} ve \sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} olduğundan:
$$\sin \alpha \cdot \sin \alpha + \cos \alpha \cdot \cos \alpha = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$
Bu durumda doğru cevap C) (1) olur.
Özet:
- 5. Soru: D) 0
- 6. Soru: D) (\sin x - \cos x)
- 7. Soru: B) (\sin x)
- 8. Soru: C) 1