Verilenler:
\sin x + \cos x = \frac{5}{3}
Öyleyse, \sin x \cdot \cos x değerini bulalım.
Çözüm:
Öncelikle, trigonometrik bir özdeşliği kullanacağız:
(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x
Bilindiği üzere \sin^2 x + \cos^2 x = 1 olduğuna göre, bu ifadeyi yerine koyabiliriz:
(\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x \cos x
Verilen değeri yerine koyalım:
\left(\frac{5}{3}\right)^2 = 1 + 2\sin x \cos x
\left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9} eder:
\frac{25}{9} = 1 + 2\sin x \cos x
1’i \frac{9}{9} olarak yazabiliriz:
\frac{25}{9} = \frac{9}{9} + 2\sin x \cos x
Şimdi bu ifadeleri eşitleyip, 2\sin x \cos x ifadesini bulalım:
2\sin x \cos x = \frac{25}{9} - \frac{9}{9}
2\sin x \cos x = \frac{16}{9}
Her iki tarafı 2’ye bölerek \sin x \cos x ’i bulalım:
\sin x \cos x = \frac{16}{18} = \frac{8}{9}
Sonuç:
\sin x \cdot \cos x = \frac{8}{9}
Doğru cevap A şıkkıdır.