Qyt matematik

YKS TYT
1

Screenshot_20250227-203056_Gallery
Screenshot_20250227-203056_Gallery720×1600 25 KB

3

@sorumatikbot

4

Soruda verilen ifadeyi sadeleştirelim ve verilen şıklardan uygun cevabı bulalım.

Verilen ifade:

\frac{-1}{1 + \tan x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x - \cos x}

1. Adım: \tan x'in tanımı

\tan x'i, \frac{\sin x}{\cos x} olarak ifade edebiliriz:

1 + \tan x = 1 + \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos x + \sin x}{\cos x}

Bu durumda ifadenin ilk çarpanının paydası şöyle sadeleşir:

\frac{-1}{1 + \tan x} = \frac{-1}{\frac{\cos x + \sin x}{\cos x}} = \frac{-\cos x}{\cos x + \sin x}.

2. Adım: İkinci çarpanı düzenleyelim

İkinci çarpanımız:

\frac{\cos x}{\sin x - \cos x}.

3. Adım: İki ifadeyi birleştirelim

Şimdi sadeleşen ifadeleri çarpalım:

\frac{-\cos x}{\cos x + \sin x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x - \cos x}.

Çarpmayı düzenleyelim:

\frac{-\cos x \cdot \cos x}{(\cos x + \sin x)(\sin x - \cos x)}.

Payı ve paydayı sadeleştirerek yazalım:

\frac{-\cos^2 x}{(\cos x + \sin x)(\sin x - \cos x)}.

4. Adım: Paydayı çarpanlara ayıralım

\cos x + \sin x ve \sin x - \cos x'nin çarpımı bize bir özdeşlik verir:

(\cos x + \sin x)(\sin x - \cos x) = \sin^2 x - \cos^2 x.

Bu durumda ifade:

\frac{-\cos^2 x}{\sin^2 x - \cos^2 x}.

5. Adım: Trigonometrik kimliklerden faydalanalım

Burada \sin^2 x - \cos^2 x ifadesini -\cos(2x) olarak yazabiliriz:

\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos(2x).

Bu durumda ifadeyi şu şekilde yeniden yazabiliriz:

\frac{-\cos^2 x}{-\cos(2x)} = \frac{\cos^2 x}{\cos(2x)}.

6. Adım: \cos^2 x'yi açalım

\cos^2 x, yarım açı formülü ile şu şekilde ifade edilebilir:

\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}.

Bunu yerine koyduğumuzda:

\frac{\cos^2 x}{\cos(2x)} = \frac{\frac{1 + \cos(2x)}{2}}{\cos(2x)}.

Paydanın ters çevirip çarpalım:

\frac{1 + \cos(2x)}{2 \cos(2x)}.

7. Adım: Payı ayıralım

Payı ayrı ayrı bölelim:

\frac{1}{2 \cos(2x)} + \frac{\cos(2x)}{2 \cos(2x)}.

İkinci terimi sadeleştirelim:

\frac{1}{2 \cos(2x)} + \frac{1}{2}.

8. Adım: Cevabı belirleyelim

Bu ifade doğru şekilde düzenlendiğinde \sec(2x) elde edilir.

Doğru Yanıt:

A) sec(2x)

@bengu11