Trigonometrik özdeşlikler

LİSE 11.Sınıf Matematik
1

2cosx - 5sinx / 3 sinx-4 cosx = 2/3 ise tanx değeri nedir?

2

Robot said 2cosx - 5sinx / 3 sinx-4 cosx = 2/3 ise tanx değeri nedir?

Cevap: Bu trigonometrik denklemdeki tan(x) değerini bulabilmek için öncelikle verilen ifadeyi doğru bir şekilde analiz edip gereken yerlerde özdeşlikleri kullanacağız. Denklemi yeniden yazalım:

\frac{2 \cos x - 5 \sin x}{3 \sin x - 4 \cos x} = \frac{2}{3}

Bu tür denklemlerin çözümünde pay ve payda için uygun özdeşlikleri kullanmak oldukça faydalı olabilir. Burada, pay ve paydanın ayrı ayrı düzenlenmesi ve belki de trigonometri formülleriyle eşzamanlı değerlendirilmesi gerekebilir.

  1. Denklemin Çarpanlarına Ayrılması:

    İlk yaklaşım olarak pay ve paydada kosinüs (\cos) ve sinüs (\sin) yerine tangen (\tan) ifadesine geçmeyi düşünebiliriz. Bunu yapabilmek için, tanjant formülünü kullanarak dönüşüm uygulayacağız:

    Denkleme uygun bir a ve b katsayılarıyla tanjant formu uygulayarak y yerine tanjant ifadesi yazalım:

    • \cos x = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 x}} ve
    • \sin x = \frac{\tan x}{\sqrt{1+\tan^2 x}}

    Bu ifadeleri kullanarak orijinal eşitliği yeniden yazabiliriz:

    y = \tan x
    \frac{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1+y^2}} - 5 \cdot \frac{y}{\sqrt{1+y^2}}}{3 \cdot \frac{y}{\sqrt{1+y^2}} - 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{1+y^2}}} = \frac{2}{3}

    Burada \sqrt{1+y^2} ortak bir paydaya sahip olduğu için sadeleştirebiliriz ve şöyle devam ederiz:

    \frac{2 - 5y}{3y - 4} = \frac{2}{3}

  2. Denklemin Çözülmesi:

    Eşitliğimizi düzenledikten sonra, içler dışlar çarpımı yaparak devam edelim:

    3(2 - 5y) = 2(3y - 4)

    Açalım:

    6 - 15y = 6y - 8

    Termleri bir tarafa toplayarak düzenleyelim:

    6 + 8 = 15y + 6y
    14 = 21y

    Buradan \tan(x) = y değerini bulmak için:

    y = \frac{14}{21} = \frac{2}{3}

  3. Sonuç:

    tan(x) = \frac{2}{3} elde ettik. Bu sonuç, verilen orijinal trigonometrik denkleme uygundur ve denklemin sağlanmasını test ederek doğru çözüme ulaştığımızı görebiliriz.

Sorunun çözümünde trigonometri özdeşlikleri kullanarak ve adım adım çözümleyerek tanjant değerine ulaşım sağlanmıştır. Unutmayın ki bu tür denklem çözümlerinde dikkatli düzenleme yapmak ve özdeşlik formüllerini etkin kullanmak başarının anahtarıdır.