a ∈ (π/28, π/14) aralığında olmak üzere, x = sin(7a), y = cos(7a), z = tan(7a) sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap:
Verilen ifadeleri ve sıralaması gereken aralıkları inceleyelim:
- Aralığın İncelenmesi:
$$ a \in \left( \frac{\pi}{28}, \frac{\pi}{14} \right) $$
Bu aralık, a açısından \frac{\pi}{28} ile \frac{\pi}{14} arasında kalan bir değeri ifade eder. Bu aralığı 7 ile çarptığımızda,
$$ 7a \in \left( \frac{7\pi}{28}, \frac{7\pi}{14} \right) = \left( \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right) $$
Bu aralıkta, \frac{\pi}{4} (45 derece) ile \frac{\pi}{2} (90 derece) arasındaki açıları ifade eder.
- Fonksiyonların İncelenmesi:
a) Sinüs Fonksiyonu (x = \sin(7a)):
45 ile 90 derece arasında sinüs fonksiyonu artan bir fonksiyondur ve bu aralıklarda sinüs değerleri 0.5 ile 1 arasında değişir.
$$ \frac{\pi}{4} < 7a < \frac{\pi}{2} \implies \frac{1}{\sqrt{2}} < \sin(7a) < 1 \implies \frac{\sqrt{2}}{2} < x < 1 $$
b) Kosinüs Fonksiyonu (y = \cos(7a)):
45 ile 90 derece arasında kosinüs fonksiyonu azalan bir fonksiyondur ve bu aralıklarda kosinüs değerleri 0 ile 0.5 arasında değişir.
$$ \frac{\pi}{4} < 7a < \frac{\pi}{2} \implies \frac{1}{\sqrt{2}} > \cos(7a) > 0 \implies \frac{\sqrt{2}}{2} > y > 0 $$
c) Tanjant Fonksiyonu (z = \tan(7a)):
45 ile 90 derece arasında tanjant fonksiyonu artan bir fonksiyondur ve bu aralıklarda tanjant değerleri 1 ile sonsuz arasında değişir.
$$ \frac{\pi}{4} < 7a < \frac{\pi}{2} \implies 1 < \tan(7a) < \infty \implies 1 < z < \infty $$
- Değerlerin Sıralanması:
Bu değerlerin doğru sıralamasını bulmak için x, y ve z’nin aralıklarını dikkate alabiliriz:
- 0 < y < \frac{\sqrt{2}}{2}
- \frac{\sqrt{2}}{2} < x < 1
- 1 < z < \infty
Dolayısıyla, sayılar sıralandığında:
$$y < x < z$$
Sonuç:
Doğru sıralama B şıkkında verilmiştir. Bu nedenle doğru cevap B şıkkıdır.