Verilen Soru:
( x + y = \frac{\pi}{2} ) olmak üzere,
[ \cos(4x + 3y) = \frac{8}{17} ]
olduğuna göre, tan(y) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Adım 1: Açılar Arasındaki İlişkiyi Bulmak
Verilenlere göre ( x + y = \frac{\pi}{2} ).
Bu durumda ( y = \frac{\pi}{2} - x ) olarak yazılabilir.
Adım 2: Trigonometrik Kimlik Kullanmak
[
4x + 3y = 4x + 3(\frac{\pi}{2} - x) = 4x + \frac{3\pi}{2} - 3x = x + \frac{3\pi}{2}
]
Adım 3: Trigonometrik Değerleri Hesaplamak
(\cos(x + \frac{3\pi}{2})) ifadesini kullanabiliriz:
[
\cos(x + \frac{3\pi}{2}) = -\sin(x)
]
Bunu (\frac{8}{17}) olarak vermiş:
[
-\sin(x) = \frac{8}{17}
]
Bu durumda:
[
\sin(x) = -\frac{8}{17}
]
Adım 4: Tan(y) Hesaplamak
Şimdi ( \tan(y) ) hesaplayalım:
[
\tan(y) = \tan(\frac{\pi}{2} - x) = \cot(x)
]
Trigonometri kimliklerine göre:
[
\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} = \frac{1}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}
]
Adım 5: (\cos(x))'i Bulmak
(\sin(x)^2 + \cos(x)^2 = 1) olduğundan:
[
\left( -\frac{8}{17} \right)^2 + \cos(x)^2 = 1
]
[
\frac{64}{289} + \cos(x)^2 = 1
]
[
\cos(x)^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{225}{289}
]
[
\cos(x) = \frac{15}{17} , \text{veya} , \cos(x) = -\frac{15}{17}
]
Pozitif çözüm seçildiğinde:
[
\tan(y) = \frac{\frac{15}{17}}{-\frac{8}{17}} = -\frac{15}{8}
]
Cevap:
[ \boxed{-\frac{15}{8}} ]
Bu, seçeneklerde yer almadığı için başka bir hata olmadığını kontrol edin veya problemde bir hata olabilir.