Tüm açıları dar açı olan bir ABC üçgeninde; \sin B \cdot \cos C + \cos B \cdot \sin C = \frac{1}{2} olduğuna göre, \cot \hat{A}'nın değeri kaçtır?
Çözüm:
Bu tip problemleri çözmek için trigonometrik dönüşümlerden ve kimliklerden yararlanırız. Verilen ifadeyi incelersek, \sin B \cdot \cos C + \cos B \cdot \sin C ifadesinin, \sin(B + C) şeklinde yazılabildiğini fark ederiz:
\sin(B + C) = \sin B \cdot \cos C + \cos B \cdot \sin C.
Bu durumda:
\sin(B + C) = \frac{1}{2}.
ABC üçgeninde A + B + C = 180^\circ olduğu için, B + C = 180^\circ - A olur. Bu denklemde A'yı kullanarak \sin(B + C)'yi şöyle dönüştürürüz:
\sin(B + C) = \sin(180^\circ - A) = \sin A.
Bu nedenle:
\sin A = \frac{1}{2}.
Şimdi A açısının değerini bulmamız gerekiyor. Trigonometrik birimin (0, 90) aralığında, \sin A = \frac{1}{2} olmasını sağlayan A = 30^\circ'dir.
Diğer taraftan, A'nın dar açı olduğunu biliyoruz, bu yüzden A = 30^\circ demektir. Şimdi, \cot A'yı hesaplayabiliriz:
\cot A = \frac{\cos A}{\sin A} = \frac{\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}.
Sonuç:
\cot \hat{A}'nın değeri \sqrt{3}'tür.
Bu nedenle doğru cevap E seçeneğidir.