Bir ABC Üçgeniyle İlgili Sorunun Çözümü
Sorunun ifadesi:
Bir ABC üçgeninin kenarları arasında, ( \sqrt{2} \cdot ab + c^2 = b^2 + a^2 ) bağıntısı vardır. Buna göre, ( \tan(\widehat{A} + \widehat{B}) ) kaçtır?
Çözüm:
Bu tarz sorularda verilen bağıntıyı geometrik bir özelliğe bağlamaya çalışmalıyız. Burada verilen eşitlik bize kosinüs teoremiyle ilişkili bir durum olduğunu düşündürüyor.
Adımlar:
- Kosinüs Teoremi Kullanımı:
Üçgenlerde kosinüs teoremi:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)
Bu durumda:
\sqrt{2} \cdot ab + c^2 = b^2 + a^2
Buradan:
a^2 + b^2 + \sqrt{2} \cdot ab = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)
- Eşitlik Sağlama:
\sqrt{2} \cdot ab = -2ab \cdot \cos(C)
\Rightarrow \cos(C) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
Bu değer, ( C = 135^\circ ) olduğuna işaret eder.
- A ve B Açıları Toplamı:
Üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan:
A + B + 135^\circ = 180^\circ
A + B = 45^\circ
- Tanjant Hesapla:
\tan(45^\circ) = 1
Sonuç:
\tan(\widehat{A} + \widehat{B}) = 1
Doğru cevap E) 1 olacaktır.