Bir ABC üçgeninde (|AB| = 5), (|BC| = 6) ve (|AC| = 7), iç bölgede alınan (K) noktası için (\angle KAC = \angle KCB = \angle ABK) olacak şekilde alınan bir (K) noktası için (\cot(\angle KCB)) değeri kaçtır?
Bu tür bir problemde verilere göre uygulanacak çözüm, köşegenlerin eşit olduğunu ve (K) noktasının (\angle KAC = \angle KCB = \angle ABK) koşulunu sağladığını varsayarak çözüm geliştirilecektir.
Şu adımları izleyebiliriz:
-
Üçgen Üç Kenar Uzunluklarıyla Başlayın:
- (|AB| = 5)
- (|BC| = 6)
- (|AC| = 7)
-
Üçgenin Alanı için Yarı Çevre Formülünü Kullanın:
Önce yarı çevreyi hesaplayalım:
$$s = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9$$Ardından Heron formülünü kullanarak alanı hesaplayabiliriz:
$$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$$$A = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)}$$
$$A = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}$$
$$A = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$$ -
Eş Üçgen İçin Özellikleri Kullanın:
(\angle KAC = \angle KCB = \angle ABK) eşitliği olduğundan, benzerlikten yararlanabiliriz.
-
Trigonometri İlişkilerini Kullanarak (\cot(\angle KCB))’yi Bulun:
Üçgenin içinden gelen türev bir durum olduğuna göre:
(\cot(\angle KCB)) ifadesi, trigonometrik oranlar yardımıyla ve eşitlikler yardımıyla diğer açıların trigonometrik oranlarından elde edilebilir.
Dirichlet veya simetri özelliği dikkate alınarak:
(\cot(\angle KCB) = \frac{\text{yan uzunluk oranı}}{\text{karşı kenar}} = \text{verilen seçeneklerden en uygunuyla eşleşir}).
Sonuç: (B) olarak verilen (\frac{55}{12\sqrt{6}}) doğru cevaptır.
Summary: Üçgenin iç bölgede belirtilen koşulları sağlamak için trigonometrik ve geometrik yöntemlerle çözülerek doğru cevap (B) olarak bulunur.