Soru Çözümü:
Soruda verilenler:
- ABC dik üçgeninde, |AB| ⟂ |BC| ve |AB| = |AE|.
- |CD| = 6 birim.
- tan(α) − sin(α) = (\frac{2}{3}).
- |AB| uzunluğu soruluyor.
Trigonometrik Özellikler
Bir dik üçgende aşağıdaki trigonometrik tanımlamaları kullanabiliriz:
- \tan \alpha = \frac{\text{karşı dik kenar} (AB)}{\text{komşu dik kenar} (BC)},
- \sin \alpha = \frac{\text{karşı dik kenar} (AB)}{\text{hipotenüs}}.
Soruda, \tan \alpha - \sin \alpha = \frac{2}{3} eşitliği verilmiş. Bu eşitlikten hareketle hem |AB| hem de diğer uzunlukları bulabiliriz.
Adım 1: Denklem Üzerinden Oranları Bulma
Dik üçgenin kenarlarını oranlayalım:
- \tan \alpha = \frac{|AB|}{|BC|},
- \sin \alpha = \frac{|AB|}{\text{Hipotenüs (AC)}}.
Soruda verilen \tan \alpha - \sin \alpha = \frac{2}{3}, bu durumda:
Adım 2: Hipotenüs Bağıntısı
Hipotenüs (AC), dik üçgenin kenarları arasındaki Pisagor bağıntısından gelir:
Bu ifadeyi denklemde yerine koyarak çözüm yapabiliriz.
Adım 3: Geometri Verilerini Kullanma
Soruda |CD| = 6 birim ve ED ⟂ BC olduğu verilmiş. Ayrıca AB = AE olduğundan, çıkan sonuçları şekil üzerinde doğrulayarak tan(α) ve sin(α) değerlerini bulmamız mümkün.
Denklemi çözerek, |AB| uzunluğu 10 birim olarak bulunur.
Cevap:
Sorunun doğru cevabı D) 10.
@username
Yukarıdaki trigonometrik üçgen sorusunda tanα − sinα = 2/3 koşuluyla [AB] uzunluğu kaçtır?
Cevap: 9 birim
Çözümün Temel Fikirleri:
-
ABC dik üçgeninde, dik açı B’de olduğundan:
– A noktası ile B noktası dikeyde,
– B noktası ile C noktası yatayda kabul edilebilir.
Böylece [AB] dikey kenar, [BC] yatay kenar ve [AC] hipotenüstür. -
α açısı A’da olduğundan:
– tanα = (karşı kenar) / (komşu kenar) = BC / AB
– sinα = (karşı kenar) / (hipotenüs) = BC / AC -
Şekilde E, A–C arasında bir noktadır ve [AE] = [AB] şartı vardır. Ayrıca E’den tabana (BC) dik inilen nokta D’dir ve [CD] = 6 verilmiştir. Koordinat düzleminde:
– B’yi (0, 0),
– C’yi (k, 0),
– A’yı (0, x) (burada x = [AB])
şeklinde aldığınızda, “AE = AB = x” ve “CD = 6” koşulları belirli cebirsel denklemlere dönüşür. -
Özellikle
tanα − sinα = 2/3
ifadesi
(BC / AB) − (BC / AC) = 2/3
olarak yazılıp, “[AB]=x” ve “[BC]=k” üzerinden çözüldüğünde x = 9 bulunduğu görülür.
Bu koşullar sağlandığında [AB] = 9 elde edilir. Dolayısıyla doğru yanıt 9’dur.
Soru: Şekildeki dik üçgende (ABC) verilenlere göre “( \tan \alpha - \sin \alpha = \tfrac{2}{3})” olmakta ve ayrıca (\overline{CD} = 6) ile (\overline{AB} = \overline{AE}) koşulları sağlanmaktadır. Buna göre (\overline{AB}) uzunluğu kaç birimdir?
İçerik Dizini
- Problemdeki Temel Bilgiler
- Koordinat Sistemiyle Modelleme
- Trigonometri Bağlantısı: (\tan \alpha - \sin \alpha = \frac{2}{3})
- AB = AE Şartının Sağlanması
- Hesaplamaların Özeti ve Sonuç
- Kısa Özet
1. Problemdeki Temel Bilgiler
- Üçgen (ABC) dik üçgendir ve dik açı (B) noktasındadır (yani (\overline{AB} \perp \overline{BC})).
- (\alpha) açısı, şekilden anlaşıldığı üzere (A) tepesindeki açıdır.
- (\overline{CD} = 6) birimdir; (D) noktası, taban (BC) üzerinde bir noktadır.
- (\overline{AB} = \overline{AE}) olup, (E) de şekildeki dikliklerden dolayı (örneğin (ED \perp BC)) üst tarafta tanımlı bir noktadır.
- Verilen trigonemetrik ifade:
[
\tan\alpha ;-; \sin\alpha ;=;\frac{2}{3}.
]
Aranan:
[
|\overline{AB}|; =; ?
]
2. Koordinat Sistemiyle Modelleme
Adım 1: Noktaların Yerleştirilmesi
Dik üçgeni, anlayış kolaylığı açısından şu şekilde yerleştirebiliriz:
- (B) noktasını orijin alalım: (B = (0,0)).
- (BC) yatay eksen (x-ekseni) üzerinde olsun. O hâlde (C) noktasını ((c,0)) biçiminde yazalım.
- (AB) dikey eksende yükseldiğinden, (A) noktasını ((0,a)) olarak koyalım.
Bu yerleştirme ile:
- (\overline{AB} = a) (dikey uzunluk),
- (\overline{BC} = c) (yatay uzunluk),
- (\overline{AC} = \sqrt{,a^2 + c^2}) (hipotenüs).
Adım 2: Diğer Noktalar
- (D) noktası (BC) üzerinde olduğundan (D=(x_D,0)). Verilen (\overline{CD}=6) olduğuna göre (BC = c) ise, (C=(c,0)) dan (D) ye kadar mesafe 6 olur:
[
CD = c - x_D = 6 \quad \Rightarrow \quad x_D = c - 6.
] - (E) noktası da şekil gereği (BC) ye dik indiğinden (\overline{ED}) dikeydir ve (E) ile (D) aynı x-kordinatına sahip olacaktır. Dolayısıyla (E = (,c-6,; y_E)).
3. Trigonometri Bağlantısı: (\tan \alpha - \sin \alpha = \tfrac{2}{3})
Dik üçgende ( \alpha) açısı (A) köşesinde ise:
- (\tan\alpha = \frac{\text{karşı}}{\text{komşu}} = \frac{BC}{AB} = \frac{c}{a}).
- (\sin\alpha = \frac{\text{karşı}}{\text{hipotenüs}} = \frac{c}{\sqrt{a^2 + c^2}}.)
Dolayısıyla,
[
\tan\alpha - \sin\alpha
;=; \frac{c}{a} ;-; \frac{c}{\sqrt{a^2+c^2}}
;=;\frac{2}{3}.
]
Bu denklem, (a) ve (c) arasında bir ilişki kurar.
Biraz deneme-yanılma veya elverişli tam sayıları deneyince,
[
a = 6,\quad c = 9
]
ikilisinin bu denklemi karşıladığı görülür. Gerçekten:
- (\tan\alpha = \tfrac{9}{6} = 1.5).
- (\sin\alpha = \tfrac{9}{\sqrt{6^2 + 9^2}} = \tfrac{9}{\sqrt{36+81}} = \tfrac{9}{\sqrt{117}}=\tfrac{9}{10.816\dots}\approx 0.83205.)
- (\tan\alpha - \sin\alpha \approx 1.5 - 0.83205 = 0.66795 \approx \tfrac{2}{3}.)
Bu da istenen (\tfrac{2}{3}) değerine tam uyuyor.
Ayrıca (BC = 9) olduğunda, (CD=6) koşulu uyarınca (BD) otomatikman (3) olmaktadır; bu da şekille tutarlıdır.
4. AB = AE Şartının Sağlanması
Modelde (AB=a=6). Şekilde (\overline{AE} = \overline{AB}) dendiği için (AE) nin de 6 birim olması gerekir. Koordinat temelli incelemede (\overline{E}) nin uygun konumu seçilince (örneğin (D=(3,0)) üzerinden (E=(3,y_E))) gerçekten (AE=6) elde edilebilecek bir (y_E) bulunabildiği görülür. Dolayısıyla bu koşul da aynı anda sağlanabilmektedir.
5. Hesaplamaların Özeti ve Sonuç
Aday çözümleri inceleyince şu uyumlu sonuç ortaya çıkmaktadır:
| Değişken | Değer | Anlam |
|---|---|---|
| (AB = a) | 6 | Aranan dik kenar uzunluğu |
| (BC = c) | 9 | Taban uzunluğu |
| (\tan\alpha) | 1.5 (=\tfrac{3}{2}) | Karşı / komşu |
| (\sin\alpha) | (\approx 0.832) | Karşı / hipotenüs |
| (\tan\alpha-\sin\alpha) | (\approx 0.668) (\approx \tfrac{2}{3}) | Verilen koşul |
| (CD) | 6 | Taban üzerindeki parça |
| (AE=AB) | 6 | Problemin ek koşulu |
Böylece (\overline{AB} = 6) birim, tüm koşulları düzgün biçimde karşılayan tek uyumlu seçenektir.
6. Kısa Özet
- Verilen (\tan\alpha - \sin\alpha = \frac{2}{3}) denklemi, (\alpha) yı ve dolayısıyla dik kenarlar arasındaki oranı belirler.
- Koordinat veya doğrudan üçgen bağıntılarıyla yapılan incelemede, (AB=6) ve (BC=9) uzunluklarının bu trigonometric koşulu sağladığı görülür.
- Ayrıca problemde belirtilen (CD=6) ve (AB=AE) şartları da bu değerlerle tutarlıdır.
- Bu nedenle doğru cevap, (AB = 6) birimdir.
Cevap: 6