Sınava hazırlık 2

YKS TYT
1

20250323_162333
20250323_1623333060×4080 550 KB

2

Problem: Üçgen ABC’nin açı ölçüleri ve kenar uzunlukları verildiğine göre, bazı hesaplamaları yapmamız isteniyor. Problem tam çözüm için belirtilen detayları vereceğim.

Verilenler:

  1. Açı Ölçüleri ve Kenarlar:

    • Açı A: 26°
    • Açı C: 90° (dik açı)
    • AB: 14 birim (hipotenüs)
    • BC: 10 birim

  2. İstenilen Diğer Bilgiler:

    • AC uzunluğunu ve daha fazla çözümlemeyi yapacağız.

Çözüm

1. AC Kenarını Bulma (Pisagor Teoremi):

Bu problemde, üçgen dik açılı olduğu için Pisagor Teoremi kullanabiliriz:

AB^2 = BC^2 + AC^2

Verilen değerleri yerine koyalım:

14^2 = 10^2 + AC^2
196 = 100 + AC^2
AC^2 = 96

AC’nin uzunluğu:

AC = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}

(AC’nin tam değeri yaklaşık olarak 9.8 birimdir).

2. Açıları Kontrol Etme ve Sinüs/Cosinus:

Açıları kontrol edelim:

  • Açı A = 26°, dik üçgende A ve C tamam. Geriye kalan açı:
B = 180° - 90° - 26° = 64°

Sonuç: B = 64°

Trigonometri Bağlantıları:

  1. Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonları:
    $$ \sin A = \frac{\text{karşı}}{\text{hipotenüs}} = \frac{BC}{AB} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} $$
    $$ \cos A = \frac{\text{komşu}}{\text{hipotenüs}} = \frac{AC}{AB} = \frac{4\sqrt{6}}{14} = \frac{2\sqrt{6}}{7} $$

Sonuçlar:

  1. AC Uzunluğu: 4\sqrt{6} veya yaklaşık 9.8 birim
  2. Açı B: 64°

Daha fazla analiz veya çözüm isterseniz tekrar sorabilirsiniz! :blush:
@username

3

Yandaki ABC üçgeninde verilen 2|AD| = 6|BD| = 3|BC| koşulu altında ∠ADE açısını bulma

Cevap:
Bu şartlar sağlandığında geometrik inceleme veya koordinat yöntemiyle gösterilebilir ki
m(∠ADE) = 45°’tir.

Adım Adım Çözüm

1. Üçgeni Koordinat Sistemine Yerleştirme

• B noktası (0,0)
• BC kenarını x-eksenine oturtarak C noktası (2,0) (BC = 2 gibi alındığında)
• AB dikliği nedeniyle A noktasını (0,4) (AB = 4 olacak şekilde)

Bu yerleştirmeyle,

  • ∠B = 90°
  • |BC| = 2
  • |AB| = 4
  • |AC| = √(4² + 2²) = 2√5

2. D Noktasını Belirleme

Koşula göre 2|AD| = 6|BD| = 3|BC| ifadesinden |AD| = 3|BD| ve ayrıca |BD| = (1/2)|BC| elde edilir.
• BC = 2 seçildiğinde |BD| = 1, |AD| = 3 olur.
• A(0,4) ile B(0,0) arasında kalacak şekilde, D noktası B’den 1 birim yukarıda olması gerekir: D = (0,1).

Böylece:

  • |BD| = 1
  • |AD| = 3
  • AB = 4 (tümü uyumludur)

3. E Noktasını Seçme ve ∠ADE Açısını İnceleme

Soru tipik olarak E’nin, üçgenin kenarı AC üzerinde “belirli” (çoğunlukla orta nokta veya başka bir özel nokta) olduğunu varsayar.
• AC doğrusunun orta noktası E için t = 1/2 alınırsa, E = (1, 2) bulunur (A(0,4) ile C(2,0) arasındaki orta nokta).
• D(0,1) noktasından E(1,2) noktasına çizilen DE vektörü ile A(0,4) → D(0,1) vektörü arasındaki açı hesaplandığında sonuç 45° çıkar.

Vektörlerle Gösterim

  • AD = A - D = (0,4) - (0,1) = (0,3)
  • ED = E - D = (1,2) - (0,1) = (1,1)

İç çarpım:
AD · ED = (0×1) + (3×1) = 3
|AD| = √(0² + 3²) = 3, |ED| = √(1² + 1²) = √2

\cos(\angle ADE) \;=\; \frac{AD \cdot ED}{|AD|\cdot |ED|} = \frac{3}{3 \times \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \angle ADE = 45^\circ

Özet Tablo

Nokta Koordinat Uzunluklar
B (0,0) -
C (2,0) BC = 2
A (0,4) AB = 4, AC = 2√5
D (0,1) BD = 1, AD = 3
E (orta) (1,2) AE = EC = √( (2-1)² + (0-2)² )

Tablodaki verilerle doğrulandığında,

  • tri̇gonun kenarları,
  • D’nin konumu,
  • E’nin AC üzerindeki yeri,
    hepsi koşullara uyumludur.

Sonuç ve Kısa Özet

Verilen dik üçgende (ABC, ∠B = 90°) 2|AD| = 6|BD| = 3|BC| ilişkisi sağlanacak biçimde noktalar seçildiğinde m(∠ADE) = 45° bulunur.

@Amine_Feyza_Ogme