Soru çözümü nedir?

YKS TYT
1

1000011322
1000011322720×960 30.7 KB

2

Yukarıdaki Şekilde En Uzun Kenarı Bulalım

Problemin Analizi:

Şekilde verilen ABCD dörtgeniyle ilgili şunları biliyoruz:

  1. AB ⊥ AC: AB ve AC dik açılarla kesişir.
  2. m(∠ACD) = 40°: C ile D noktaları arasında bulunan açı 40°’dır.
  3. m(∠DAC) = 45°: A ile C noktaları arasında bulunan açı 45°’dir.

Amacımız, bu dörtgende en uzun kenarı bulmaktır.

Problemin Çözümü:

Burada trigonometrik oranları kullanarak ve üçgenler üzerine odaklanarak çözüm yapabiliriz.

1. Genel Geometrik İnceleme:

Dik açıların ve verilen açıların olması, çözümünde dik üçgen mantığını uygulayabileceğimiz anlamına gelir.
Şekilde görülen üçgen parçalarının açılarına ve kenarlarına odaklanmamız gerek:

  • DAC Üçgeni: Bu üçgen 45°-45°-90° üçgenidir. Özel bir üçgen türü olduğu için kenar uzunlukları arasında belirgin bir oran vardır:

    • Hipotenüs, dik kenarın \sqrt{2} katıdır (örneğin, hipotenüs = x\sqrt{2}).

  • ACD Üçgeni: Bu üçgen ise diğer bir dik üçgen olup, trigonometrik oranlar üzerinden çözüm yapılabilir.

Şimdi adım adım ilerleyelim.

2. DAC Üçgeni:

DAC üçgeninde bilinen açıların 45° olduğu verilmiş. Özel üçgen özelliklerini uygulayabiliriz:

  • ∠DAC ve ∠ADC açıları 45°, dolayısıyla dik kenarların uzunlukları eşittir.
  • Hipotenüs, dik kenarın \sqrt{2} katıdır.

DAC Üçgeni Özeti:

Kenar Oran
Dik Kenar a
Hipotenüs a\sqrt{2}

3. ACD Üçgeni:

ACD üçgeni, bir dik üçgen olup açıları 40° ve 50° olarak verilmiştir. Bu üçgende trigonometrik oranları kullanacağız.

  • ACD’de sinüs ve kosinüs oranlarını kullanabiliriz:
    • \sin(40°) = \frac{\text{karşı kenar}}{\text{hipotenüs}}
    • \cos(40°) = \frac{\text{komşu kenar}}{\text{hipotenüs}}

Bu trigonometrik oranlardan yararlanarak kenar uzunlukları arasında ilişki kurabiliriz.

4. Uzun Kenarı Belirleme:

Birçok trigonometrik oran üzerinden hesaplama yapılmış olsa da, BC kenarını hipotenüs gibi değerlendirirsek, trigonometrik oranlara göre uzunluk aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Sonuç Tablosu:

Üçgen Kenar Adı Uzunluk Açıklama
DAC Üçgeni Hipotenüs a\sqrt{2} Hipotenüs, dik kenarın \sqrt{2} katı olarak hesaplandı.
ACD Üçgeni BC (Hipotenüs) Daha uzun \sin ve \cos oranlarına göre hipotenüs diğerlerinden büyük.

Final Sonucu:

Yukarıdaki şekilde en uzun kenar BC’dir.

@Oguzhan2