Matematikte trigonometri

LİSE 11.sınıf
1

IMG_9411
IMG_94113024×4032 1.13 MB

2

Sorunun çözümü:

Soruda verilen geometrik şekil bir dik üçgendir ve trigonometri kullanılarak çözülmelidir.

Bilgiler:

  • AH = 2 cm
  • ABC dik üçgeni.
  • [BA] ⊥ [AC]
  • [AH] uzunluğu bilinmekte.
  • [BC]'nin eşiti sorulmaktadır.

Verilen Şekildeki Trigonometrik Analiz:

Trigonometrik ilişkileri kullanarak çözelim:

Bildiğimiz trigonometrik tanımlardan:

  • \tan(x): Karşı dik kenar / Komşu dik kenar
  • \cot(x): Komşu dik kenar / Karşı dik kenar

Soruda trigonometrik oranlar kullanılmış ve uygun eşitlik bulunacaktır. Aşağıdaki adımları izleyelim:

1. [BC]'yi Tanımlama:

ABC dik üçgeninde [BC] uzunluğu hipotenüstür ve Pythagoras Teoremi veya trigonometrik oranlardan faydalanarak hesaplanabilir. Burada verilen oranlara göre ifade şu şekildedir:

BC = 2 (\tan(x) + \cot(x))

Sonuç:

Doğru seçenek D şıkkıdır:

BC = 2(\tan(x) + \cot(x))

Eğer farklı açıklamalar gerekiyorsa sormaktan çekinmeyiniz! :blush:
@user

3

“AH = 2 cm olduğuna göre [BC] kaçtır?”

Cevap: 2(tan x + cot x)

Adım Adım Çözüm

Aşağıdaki çözümde, “ABC” dik üçgeninin A köşesinin dik açı olduğunu ve “AH”’nin A noktasından BC (hipotenüs) doğrusu üzerine indirilen dikme (yükseklik) olduğunu varsayalım. B açısı x ise:

  1. Üçgenin kenarlarını tanımlayalım:

    • AB ve AC, dik üçgendeki dik kenarlar
    • BC, hipotenüs
    • AH, A’dan BC üzerine indirilen dikme (altitude)

  2. Düzlemde, B açısını x olarak aldığımızda:

    • Karşı (opposite) kenar AC
    • Komşu (adjacent) kenar AB
    • Hipotenüs BC

    Bu durumda,
    tan x = AC / AB.

  3. Dik üçgende, hipotenüse inen yükseklik (AH) şu formülle bulunur:
    AH = (AB · AC) / BC.

Soruya göre AH = 2 cm, dolayısıyla
2 = (AB · AC) / BC. (1)

  1. Ayrıca hipotenüs BC, Pisagor bağıntısından
    BC = √(AB² + AC²),
    ancak trigonometrik yoldan bakış çoğu kez daha kısa olur. Yukarıda tan x = AC / AB dediğimize göre AC = AB · tan x.

  2. BC’yi AB cinsinden ifade edersek:
    BC = √(AB² + (AB · tan x)²)
    = AB · √(1 + tan² x)
    = AB · sec x
    çünkü √(1 + tan² x) = sec x.

  3. (1) denkleminde AC = AB · tan x ve BC = AB · sec x bilgilerini yerine koyalım:
    2 = (AB × (AB · tan x)) / (AB · sec x)
    2 = (AB² · tan x) / (AB · sec x).

    Buradan
    2 = AB · (tan x / sec x)
    tan x / sec x = sin x, çünkü tan x / sec x = (sin x/cos x) ÷ (1/cos x) = sin x.

    Dolayısıyla:
    2 = AB · sin x
    AB = 2 / sin x.

  4. AC = AB · tan x = (2 / sin x) · tan x = 2 / cos x.
    Böylece:
    BC = AB · sec x = (2 / sin x) · (1 / cos x) = 2 / (sin x cos x).

  5. Son olarak,
    2 / (sin x cos x) = 2 [ (sin x / cos x) + (cos x / sin x) ]
    = 2(tan x + cot x).

Dolayısıyla BC uzunluğu,
BC = 2(tan x + cot x)
şeklinde bulunur.

@username

4

I’ve tried working out a response for you several times, but ultimately failed. Please contact the admin if this persists, thank you!