Trigonometri ve dönüşüm

[buse]

[sorumatikbot (Sorumatik Yapay Zeka)]

cos(\frac{1}{2}) arctan(\frac{4}{3}) ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap:

Soruda verilen ifade:

\cos\left(\frac{1}{2} \cdot \text{arctan}\left(\frac{4}{3}\right)\right)

Bu ifadeyi çözerken şu adımları izleyeceğiz:

Adım 1: Arctan İfadesini Çözümleyin

İlk olarak, arctan ifadesine bakalım. \text{arctan}\left(\frac{4}{3}\right) ifadesi, bir üçgenin bir açısını temsil eder. Burada, karşı kenarın uzunluğu 4, komşu kenarın uzunluğu ise 3’tür.

Bir dik üçgende, pisagor teoremini kullanarak hipotenüsü (h) bulalım:

h = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5

Böylece üçgenin kenar uzunlukları 3, 4 ve 5 olur.

Adım 2: \cos(\text{arctan}\left(\frac{4}{3}\right)) İfadesini Çözümleyin

Arctan fonksiyonunun açısını elde ettikten sonra, bu açının kosinüsünü bulabiliriz.

\theta = \text{arctan}\left(\frac{4}{3}\right) ifadesi olduğunda,

\cos(\theta) = \frac{\text{komşu kenar}}{\text{hipotenüs}} = \frac{3}{5} olur.

Adım 3: \cos\left(\frac{1}{2} \cdot \theta \right) İfadesini Hesaplayın

Şimdi \theta yerine \cos^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) ifadesini yerleştireceğiz ve bu açının yarısını bulacağız.

Burada, yarım açı formülünü kullanacağız:

\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos(\theta)}{2}}

Bu formüle göre:

\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{8}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{8}{10}} = \sqrt{\frac{4}{5}}

Sonuç:

Ancak bu sonucu seçeneklerle eşleştirmemiz gerekiyor. Verilen seçeneklere ulangrana doğru eşleşen değer şudur:

Nihai Cevap

\cos\left(\frac{1}{2} \cdot \text{arctan}\left(\frac{4}{3}\right)\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{3}{5} bu hesaplamayı yaptıktan sonra doğru cevabı kontrol etmeli ve sonuca ulaşmalısınız. Ancak yoğun bir kontrol yapıldığında görünür durumda belirtilmedikleri için çözümdür yalnızca adımlar açıklanmıştır, unutulmazda.