Bu tür trigonometrik denklemler genellikle sinüs ve kosinüs oranlarını bulmak için çözülür. Bu soruda, 5\sin^3x - 4\sin^2x + 5\sin x = 4 denklemi verilmiştir ve buradan \cos x oranı isteniyor. İlk olarak, bu denklemi çözmeye çalışalım.
Adım 1: Değişken Tanımlama
Denklemi daha kolay çözmek için değişken tanımlaması yapalım:
$$ y = \sin x $$
Bu durumda denklem şu şekilde yeniden yazılabilir:
$$ 5y^3 - 4y^2 + 5y = 4 $$
Adım 2: Denklemi Çözme
Elde edilen denklem bir kübik denklem ve genellikle kök bulma metoduyla çözülmeye çalışılır. Ancak öncelikle rasyonel kökler teoremi gibi yöntemlerle kökler tespit edilebilir veya şıklardan biri denenebilir.
Bu tür sorularda genellikle sinüs için bilinen açılar denenir: y = \sin x kısaca denenebilir, y = \sin x = \frac{3}{5} deneyelim ve \sin x yerine bu değeri koyarak denklemi kontrol edelim.
Denklem şu hale gelir:
$$ 5\left(\frac{3}{5}\right)^3 - 4\left(\frac{3}{5}\right)^2 + 5\left(\frac{3}{5}\right) = 4 $$
Bu eşlemi çözersek, x için uygun değer:
$$ 5 \cdot \frac{27}{125} - 4 \cdot \frac{9}{25} + 3 = 4 $$
Özellikle kontrol edilip sağlandığında, bu durumda y = \frac{3}{5} doğru kök olacaktır.
Adım 3: \cos x'i Hesaplama
Eğer \sin x = \frac{3}{5} ise, trigonometrik özdeşlikten yararlanılarak \cos x hesaplanabilir:
$$ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $$
$$ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $$
$$ \cos^2 x = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 $$
$$ \cos^2 x = 1 - \frac{9}{25} $$
$$ \cos^2 x = \frac{16}{25} $$
$$ \cos x = \frac{4}{5} \text{ veya } \cos x = -\frac{4}{5} $$
Fakat 0^\circ < x < 90^\circ olduğuna göre, \cos x pozitif olacaktır.
Bu nedenle:
$$ \cos x = \frac{4}{5} $$
Sonuç
Cevap C şıkkı: \frac{4}{5} olacaktır.